INTERMATHS, VOL. 4, NO. 2 (2023), 1–8
https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i2.14219
EDITORIAL
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Caracterização de uma transição de fase contínua
em um sistema caótico
Characterization of a continuous phase transition in a chaotic system
Edson D. Leonel
a,∗
, Célia M. Kuwana
a
a
Departamento de Física, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro - SP, Brasil
* Correspondence: edson-denis.leonel@unesp.br
Resumo: Discutimos uma invariância de escala para a difusão caótica em uma transição de
fase de integrabilidade para não integrabilidade em uma classe de sistemas dinâmicos descritos
por um mapeamento bidimensional, não linear e preserva a área no espaço de configurações. As
variáveis que descrevem o sistema são a ação
I
e o ângulo
θ
. Este tem a propriedade de divergir
no limite em que a ação é suficientemente pequena. A transição de fase é controlada por um
parâmetro
ϵ
. Uma invariância de escala observada para a ação quadrática média ao longo do
mar caótico prova que a transição observada da integrabilidade para a não integrabilidade é
equivalente a uma transição de fase de segunda ordem, que é também conhecida como transição
de fase contínua. Uma evidência clara disso refere-se ao fato de que o parâmetro de ordem se
aproxima de zero ao mesmo tempo que a susceptibilidade - resposta do parâmetro de ordem à
variação do parâmetro de controle - diverge no mesmo limite.
Palavras-chave: Difusão; Transição de fase; Expoentes críticos.
Abstract: We discuss a scaling invariance for chaotic diffusion in a transition from integrability
to nonintegrability in a class of dynamical systems described by a two-dimensional, nonlinear,
and area-preserving mapping. The variables describing the system are the action
I
and the angle
θ
, which have the property of diverging in the limit of vanishingly action. The phase transition
is controlled by a parameter
ϵ
. A scaling invariance observed for the average squared action
along the chaotic sea proves that the transition observed from integrability to nonintegrability
is equivalent to a second order and is therefore called a continuous phase transition. A clear
signature of this is to the fact that the order parameter approaches zero simultaneously, and
the response of the order parameter to the variation of the control parameter (susceptibility)
diverges.
keywords: Diffusion; Phase transition; Critical exponents.
Os sistemas Hamiltonianos são utilizados na investigação e caracterização de muitas
propriedades dinâmicas de vários sistemas físicos. Essa descrição pode fornecer um con-
junto de resultados interessantes com impactos no entendimento de sistemas físicos que
exibem dinâmicas complexas [
1
]. Um sistema Hamiltoniano com dois graus de liberdade
pode ser caracterizado por dois pares de variáveis canônicas, que são tipicamente (
I
i
, θ
i
),
com
i
= 1
,
2, e
I
denotando a variável ação enquanto
θ
corresponde ao ângulo. Para a
Submetido em: 05 Dezembro 2023 Aprovado em: 12 Dezembro 2023 Publicado em: 30 Dezembro 2023.
ISSN 2675-8318 Copyright ©2023 INTERMATHS. Published by Edições UESB. This is an Open Access article under the CC BY 4.0 license.
transição que será discutida neste trabalho, a função Hamiltoniana pode ser escrita como
H
(
I
1
, θ
1
, I
2
, θ
2
) =
H
0
(
I
1
, I
2
) +
ϵH
1
(
I
1
, θ
1
, I
2
, θ
2
) onde
H
0
corresponde à parte integrável
enquanto
H
1
representa a parte não integrável. Esta por sua vez é controlada por um
parâmetro
ϵ
. Quando
ϵ
= 0 o sistema é integrável. Isso porque tanto a energia quanto a
ação são preservadas. Por outro lado para
ϵ ̸
= 0, apenas a energia é preservada, o que
destrói a integrabilidade do sistema. Como veremos no decorrer do trabalho, a transição
de integrabilidade para não integrabilidade exibe características de uma transição de fase
contínua conforme discutido na mecânica estatística [
2
–
4
]. Veremos que o observável
que define o parâmetro de ordem vai continuamente à zero ao mesmo tempo que sua
susceptibilidade diverge.
Podemos notar que a Hamiltoniana
H
é independente do tempo [
5
], sendo portanto
uma constante, ou seja,
H
=
E
. Essa propriedade permite eliminar
I
2
de
H
escrevendo
uma nova expressão como
H
=
H
(
I
1
, θ
1
, θ
2
, E
). O fluxo de soluções que é originalmente
quadridimensional pode ser reduzido a um fluxo tridimensional devido à preservação de
energia. Quando esse fluxo de soluções é interceptado por um plano - que é definido
como uma superfície de seção ou seção de Poincaré - com
θ
2
constante, permite que a
dinâmica possa ser descrita por um mapeamento bidimensional e que preserva a área no
espaço de fases. A Figura 1 mostra a interseção do fluxo de soluções por um plano.
Fig. 1. Ilustração de uma seção de Poincaré.
A forma do mapeamento é dada por:
(
I
n+1
= I
n
+ ϵh(θ
n
, I
n+1
)
θ
n+1
= [θ
n
+ K(I
n+1
) + ϵp(θ
n
, I
n+1
)] mod(2π)
, (1)
onde
K
(
I
n+1
),
p
(
θ
n
, I
n+1
) e
h
(
θ
n
, I
n+1
) são funções não lineares (ver Ref. [
6
] para
diferentes aplicações). O índice
n
corresponde à iteração do mapeamento, ou seja,
identifica o tempo de cruzamento do fluxo de soluções na seção de Poincaré. A preservação
da área no espaço de fases ocorre quando a condição
∂p(θ
n
,I
n+1
)
∂θ
n
+
∂h(θ
n
,I
n+1
)
∂I
n+1
= 0 é satisfeita.
Essa condição é oriunda da imposição de
det J
= 1, onde
J
é a matriz Jacobiana do
sistema.
Neste trabalho, consideraremos a seguinte forma matemática para o mapa discreto:
(
I
n+1
= I
n
+ ϵ sin(θ
n
)
θ
n+1
=
h
θ
n
+
1
|I
n+1
|
γ
i
mod(2π)
, (2)
2 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i2.14219 Edson D. Leonel, Célia M. Kuwana
onde
h
(
θ
n
, I
n+1
) =
sin
(
θ
n
),
p
(
θ
n
, I
n+1
) = 0 e
K
= 1
/|I
n+1
|
γ
, com
γ >
0, fornecendo a
rapidez com que ocorre a divergência da variável
θ
no limite da ação
I
suficientemente
pequena. A razão desta escolha é devida à difusão caótica. Quando a ação
I
é pequena, a
variável
θ
n
não tem correlação com
θ
n+1
, o que acaba conduzindo à difusão de órbitas caó-
ticas. Com a difusão, ocorre o crescimento da variável
I
. Assim que
I
cresce, as variáveis
angulares apresentam correlação. Consequentemente, regularidade aparece no espaço
de fases o que leva à existência de ilhas periódicas e curvas invariantes desempenham
uma limitação importante para o processo de difusão. Como o determinante da matriz
Jacobiana é igual a um, as órbitas caóticas não conseguem cruzar as curvas invariantes
ficando, portanto, confinadas a uma região finita do espaço de fases e apresentando
propriedades de escala interessantes. Dessa forma, o objetivo principal deste trabalho é
discutir a transição de integrabilidade para não integrabilidade focando na discussão de
quatro itens principais: (1) Identificar a quebra de simetria do sistema; (2) Definir o
parâmetro de ordem e sua susceptibilidade; (3) Discutir qual seria a excitação elementar
e; (4) Discutir os defeitos topológicos presentes no espaço de fases que impactam no
transporte de partículas.
É importante observar que o parâmetro
ϵ
controla uma parte interessante da dinâmica.
Para o caso em que
ϵ
= 0, o sistema é integrável já que tanto a energia
E
quanto a
ação
I
são constantes. A fase integrável é marcada por um espaço de fases foliado
com valores constantes para a ação
I
. A dinâmica do sistema para
ϵ
= 0 é elementar
e completamente previsível. Isso implica que não existe afastamento exponencial de
condições iniciais próximas no espaço de fases, logo, ausência de caos. O regime integrável
define, portanto, uma fase regular. Por outro lado, quando
ϵ ̸
= 0, o espaço de fase não é
mais foliado assumindo uma forma mista. Nesta nova configuração, o espaço de fases
apresenta dinâmica mais complicada e, dependendo tanto das condições iniciais e do
parâmetro de controle, um mar caótico limitado por curvas invariantes e ilhas periódicas
são observadas. Devido à preservação da área e à aplicação do teorema de Liouville [
5
],
as ilhas de estabilidade não podem ser invadidas por partículas se difundindo ao longo do
mar de caos e, ao mesmo tempo, não permite que as partículas movendo-se no interior
das ilhas possam escapar delas. Portanto, eles podem ser comparados como equivalentes
de defeitos topológicos [
7
] violando a condição de ergodicidade para o espaço de fases. As
curvas invariantes também possuem regras cruciais para a dinâmica. Na verdade, uma
vez que bloqueiam a passagem de partículas de baixo para cima e vice-versa, definem
o tamanho do mar caótico. A Figura 2 mostra um gráfico do espaço de fases para o
mapeamento (2) considerando dois parâmetros de controle: (a)
ϵ
= 0 e (b)
ϵ
= 10
−3
.
Na Figura 2 (b), as curvas em vermelho representam as primeiras curvas invariantes que
limitam o mar caótico e são denotadas por fisc de first invariant spanning curve, ou
seja, primeira curva invariante spanning.
Com a discussão anterior, podemos agora pensar qual pode ter sido a simetria
destruída. Notamos que para
ϵ
= 0, o espaço de fases é foliado, portanto assumindo
uma forma completamente regular e simétrica. Cada curva mostrada na Figura 2(a)
depende apenas da ação inicial, que é preservada ao longo do dinâmica. Como a
dinâmica preserva a ação, as condições iniciais não se afastam exponencialmente uma
da outra com o passar do tempo. Observamos uma regularidade dinâmica no espaço
de fases caracterizando, então, uma fase simétrica e regular para a dinâmica. Por
Edson D. Leonel, Célia M. Kuwana INTERMATHS, 4(2), 1–8, December 2023 | 3
Fig. 2. Gráfico do espaço de fases para o mapeamento (2) para: (a)
ϵ
= 0 e (b)
ϵ
= 10
−3
. As curvas fisc mostradas
em (b) correspondem às primeiras curvas invariantes e são proporcionais a ϵ
1/(1+γ)
.
outro lado, quando
ϵ ̸
= 0, a função não linear
sin
(
θ
) afeta a evolução temporal das
partículas, afetando diretamente a dinâmica e destruindo a regularidade presente no
espaço de fases. Pode-se notar que o espaço de fases apresenta uma forma mista e contém
dinâmicas periódicas, marcadas pela existência de diferentes pontos fixos periódicos
centralizados nas ilhas periódicas e também a presença de curvas invariantes onde as
primeiras delas, tanto do lado positivo quanto negativo, são identificadas na Figura
2(b), além da presença de mar de caos. Duas condições iniciais ao longo do mar de caos
divergem exponencialmente uma da outra com o decorrer do tempo, conforme exigido
para caracterizar uma dinâmica caótica. Como discutido em Ref. [
6
], percebe-se que
o mar de caos presente no espaço de fases nasce com tamanho bem definido no eixo
das ações. De fato, uma condição inicial fornecida no mar de caos pode se difundir
pelo espaço de fases na faixa
I ∈
−
h
γϵ
0.9716...
i
1/(1+γ)
,
h
γϵ
0.9716...
i
1/(1+γ)
. Os dois limites,
positivo e negativo, são dados pelas curvas invariantes que funcionam como barreiras
impedindo que as partículas as atravessem, limitando assim o tamanho do mar caótico.
A destruição da regularidade marca a quebra de simetria para
ϵ ̸
= 0 e define o tamanho
do mar de caos. Portanto, a simetria quebrada vai da regularidade para a dinâmica
caótica e, consequentemente, para a difusão caótica.
Concentraremos agora nas discussões referentes ao parâmetro de ordem [
2
]. Como
discutimos no parágrafo anterior, a dinâmica é regular para
ϵ
= 0 e dependendo das
4 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i2.14219 Edson D. Leonel, Célia M. Kuwana
condições iniciais, caos pode ser observado para
ϵ ̸
= 0 e a difusão caótica está presente
na dinâmica. Devido à existência de duas curvas invariantes (positiva e negativa), a
difusão caótica é limitada. Considerando a simetria do espaço de fase, a ação média não
é uma boa variável para o estudo da difusão. Por outro lado, uma boa variável seria a
raiz quadrada da ação quadrática média. O comportamento desse observável para tempo
suficientemente longo fornece a saturação da difusão caótica e é escrito como I
sat
∝ ϵ
α
.
Esta variável é uma boa candidata como parâmetro de ordem. No que se refere às
condições para se observar uma transição de fase contínua, o parâmetro de ordem se
aproxima continuamente de zero na transição, ou seja, quando ϵ → 0, marcando assim
uma fase ordenada, comparada com àquela quando
ϵ ̸
= 0, que fornece uma fase caótica.
Uma rápida comparação com uma transição de fase em um sistema ferromagnético
pode ser feita [
2
]. Em um sistema composto por spins que podem interagir entre si
e alinhar-se com um campo externo, a magnetização espontânea
m
é o parâmetro de
ordem em tal sistema. Para campo externo nulo, apenas as interações locais definem a
magnetização do sistema, que também depende da temperatura externa
T
. Para uma
temperatura
T
abaixo da crítica
T
c
, observa-se magnetização não nula. Porém, assim
que a temperatura ultrapassa
T
c
, a fase ordenada marcada por spins alinhados entre
si é destruída e magnetização nula é observada. Assim que
T → T
c
pela esquerda, a
magnetização vai suave e continuamente até zero. A resposta do parâmetro de ordem
frente à variação do campo externo dá a susceptibilidade magnética
χ
, que diverge nesse
limite. Essas duas constatações são elementos de uma transição de fase contínua.
De volta ao modelo caótico, assim que o parâmetro de controle
ϵ
é diferente de zero,
ocorre o nascimento do mar de caos com tamanho limitado, conforme discutido na Ref.
[
6
]. A Figura 3 mostra o expoente de Lyapunov positivo [
8
] para uma extensa faixa de
variação do parâmetro de controle ϵ ∈ [10
−6
, 10
−2
].
Fig. 3. Gráfico do expoente de Lyapunov positivo para uma extensa faixa de parâmetros de controle
ϵ ∈
[10
−6
,
10
−2
].
Notamos que o expoente de Lyapunov positivo
λ
varia bem pouco, normalmente
ao longo do intervalo
λ ∈
[1
.
5
,
1
.
75] em comparação com a extensa faixa de variação
do parâmetro de controle
ϵ ∈
[10
−6
,
10
−2
]. Isso nos permite supor que o mar de caos
nasce com uma amplitude e que a dinâmica caótica tem um expoente de Lyapunov
positivo finito. Este valor aproximadamente constante está associado ao fato de que o
mar caótico é invariante em escala em relação ao parâmetro de controle ϵ.
Edson D. Leonel, Célia M. Kuwana INTERMATHS, 4(2), 1–8, December 2023 | 5
Discutiremos, agora, um observável usual para descrever difusão que é a raiz quadrada
da ação quadrada média, definida como:
I
rms
=
v
u
u
u
t
1
M
M
X
i=1
1
n
n
X
j=1
I
2
i,j
. (3)
Aqui
M
corresponde a um conjunto de diferentes condições iniciais e
n
identifica o
tempo discreto (número de iterações). Seguindo o procedimento apresentado na Ref.
[
9
], o comportamento de
I
rms
pode ser feito da seguinte forma, conforme mostrado na
Figura 4(a). Para uma ação inicial
I
0
∼
=
0, as curvas se comportam como
I
rms
∝
(
nϵ
2
)
β
,
com o expoente
β
∼
=
1
/
2. Esse valor numérico faz com que a difusão de partículas seja
equivalente à difusão normal. O termo não linear
sin
(
θ
n
) define a excitação elementar da
dinâmica. Para a dinâmica caótica e assumindo independência estatística das variáveis
dinâmicas
θ
e
I
e considerando pequenos valores de
I
, a primeira equação de mapeamento
(2) leva a uma dinâmica de caminhada aleatória equivalente com passo médio de tamanho
ϵ/
√
2
, que passa, então, a ser a excitação elementar do sistema. Tomando o quadrado
da primeira equação de mapeamento (2), fazendo uma média sobre um conjunto de
diferentes fases iniciais
θ
0
∈
[0
,
2
π
] e assumindo independência estatística entre
I
e
θ
,
obtemos
I
2
n+1
=
I
2
n
+
ϵ
2
2
. Esta equação também nos permite obter o coeficiente de difusão
como
D
=
ϵ
2
4
. Uma transformação da equação de diferenças em uma equação diferencial
leva ao seguinte resultado
I
2
(
n
) =
I
2
0
+
n
ϵ
2
2
, confirmando assim analiticamente o termo
ϵ
2
.
Por um tempo suficientemente grande e considerando a existência de curvas invariantes,
a saturação é dada por
I
rms,sat
∝ ϵ
α
, com
α
=
1
1+γ
. O regime que marca a mudança
do crescimento para a saturação é dado por
n
x
∝ ϵ
z
, com
z
=
−
2γ
γ+1
. As curvas se
sobrepõem muito bem após a transformação de escala, como mostrado na Figura 4(b).
Fig. 4. (a) Gráfico de diferentes curvas de
I
rms
vs. n
. Os parâmetros de controle e condições iniciais estão mostrados
na figura. (b) Sobreposição do curvas mostradas em (a) em um gráfico único e universal.
6 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i2.14219 Edson D. Leonel, Célia M. Kuwana
A sobreposição das curvas mostradas na Figura 4(b) confirma uma invariância de
escala para a dinâmica caótica perto de uma transição da integrabilidade para não
integrabilidade do mapeamento (2). Notamos também uma escala presente nas curvas
mesmo que a ação inicial não seja pequena o suficiente, como é o caso das curvas
contínuas. Estes últimos foram obtidos pela solução analítica da equação de difusão sob
condições de contorno específicas[10].
Notamos que no limite de
ϵ →
0, o parâmetro de ordem
I
sat
∝ ϵ
α
tende a zero
continuamente. A teoria da transição de fase de segunda ordem [
11
,
12
] diz que a
susceptibilidade, ou seja, a resposta da variação do parâmetro de ordem em relação à
variação do parâmetro de controle
ϵ
, deve divergir no limite acima. A susceptibilidade é
calculada como:
χ =
∂I
sat
∂ϵ
=
"
1
1 + γ
#
1
ϵ
γ
1+γ
. (4)
Como
γ
é um número não negativo, no limite de
ϵ →
0, temos que
χ → ∞
. Esta é uma
assinatura clara de uma transição de fase de segunda ordem.
Vamos agora abordar a questão dos defeitos topológicos. Essa terminologia é importada
da mecânica estatística e conduz à quebra da ergodicidade na dinâmica. Se a dinâmica do
sistema for completamente caótica com ausência de qualquer ponto periódico, teríamos
que a média ao longo do conjunto microcanônico seria igual à média temporal, o que
implicaria que o sistema seria ergódico. Este não é o caso, uma vez que existem ilhas
de periodicidade no espaço de fase, que é, por sua vez, misto. As ilhas podem ser
interpretadas como equivalentes a estruturas topológicas, logo são defeitos topológicos
que destroem a ergodicidade do sistema. Quando a dinâmica passa suficientemente
perto das ilhas, a densidade de probabilidade é modificada afetando as propriedades
estatísticas do sistema [10].
Antes de apresentarmos nossos comentários finais, vamos mencionar sucintamente
dois exemplos de transições de fase de segunda ordem observadas em outros sistemas
[
11
]. Conforme mencionado ao longo do texto, em um sistema ferromagnético, as
variáveis que indicam a transição são
m
(
t
) =
m
0
|t|
−
˜
β
, com
t
=
T −T
c
T
c
, e a susceptibilidade
χ
=
dm
dB
∝ |t|
−˜γ
no limite do campo externo
B →
0. Em uma transição de gás líquido no
ponto crítico, as variáveis que caracterizam a transição de fase são (
ρ
l
−ρ
g
)
∝ |t|
−
˜
β
, com
ρ
l,g
identificando as densidades do líquido e do gás, simultaneamente. A susceptibilidade
correspondente nesta transição é a compressibilidade isotérmica definida como a resposta
do parâmetro de ordem a um campo conjugado a ele,
χ ∝
∂V
∂P
que diverge no limite em
que t → 0.
Em resumo, investigamos os elementos básicos que podem ser usados para identificar
e classificar uma transição de fase de segunda ordem em um sistema dinâmico. A escala
presente na difusão caótica está ligada ao tamanho finito do domínio caótico levando a
um conjunto de expoentes críticos usados para transformar as curvas de
I
rms
em uma
curva universal. O parâmetro de ordem foi identificado como
I
sat
∝ ϵ
α
com
α
=
1
1+γ
,
onde
ϵ
é o parâmetro de controle e que
I
sat
→
0 quando
ϵ →
0. A susceptibilidade
χ
=
1
1+γ
1
ϵ
γ
1+γ
diverge no limite de
ϵ →
0. Esses dois resultados são identificações
claras de transições de fase contínuas. As excitações elementares são produzidas pela
função não linear, fazendo com que a dinâmica no domínio de ações pequenas se
Edson D. Leonel, Célia M. Kuwana INTERMATHS, 4(2), 1–8, December 2023 | 7
comporte como uma partícula caminhando aleatoriamente. Finalmente, a existência das
ilhas de periodicidade foi interpretada como os defeitos topológicos no espaço de fases
modificando as propriedades de transporte de partículas do sistema levando a dinâmicas
lentas, chamadas de stickiness. Os resultados apresentados permitem-nos concluir que
a transição de fase da integrabilidade para a não integrabilidade no mapeamento (2)
é análoga a uma transição de fase de segunda ordem. Os resultados discutidos e o
formalismo utilizado podem ser estendidos a muitos outros tipos diferentes de transições
de fase em sistemas dinâmicos, incluindo uma transição de difusão caótica limitada
para ilimitada [
13
] e também de aceleração de Fermi limitada para ilimitada [
14
,
15
] em
sistemas de bilhar dependentes do tempo [16].
Conflito de interesse
Nenhum potencial conflito de interesses foi relatado pelos autores.
Financiamento
E. D. L. agradece apoio do CNPq (301318/2019-0) e da FAPESP (2019/14038-6, 2021/09519-5).
ORCID
Edson D. Leonel https://orcid.org/0000-0001-8224-3329
Célia M. Kuwana https://orcid.org/0000-0003-1708-3669
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