A Forma Matricial da Identidade de Euler
The Matrix Form of Euler’s Identity

Resumo

O presente artigo aborda a representação matricial de números complexos e explora suas principais propriedades, com ênfase na identidade de Euler. O texto foi desenvolvido em uma linguagem simples, buscando possibilitar seu uso por alunos da licenciatura em matemática e professores da Educação Básica que visam aprofundar o aprendizado e promover uma compreensão mais ampla dessa área de conhecimento.

Palavras-chave: Matriz; Número complexo; Euler.

Abstract

This paper addresses the matrix representation of complex numbers and explores its main properties, with an emphasis on Euler identity. The text was developed in a simple language, seeking to enable its use by mathematics degree students and Basic Education teachers

Keywords: Matrix; Complex number; Euler.

1 INTRODUÇÃO

A identidade de Euler, em sua forma clássica

$e^{i\pi }+1=0$

é referenciada em Crease [3, p.92] e em [1, p.326] de modo enfático por sua beleza e importância, já que reune conceitos básicos da matemática numa só expressão, tais como as operações de adição, potenciação e multiplicação. Nela, estão presentes os números inteiros $0$, elemento neutro aditivo e $1$, elemento neutro multiplicativo, o número imaginário $i$, os números irracionais pi ($\pi \approx \mathrm{3,14}\mathrm{\dots }$), razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro, e $e\approx \mathrm{2,71}\mathrm{\dots }$, denominado número de Euler, base dos logarítmos naturais. Além disso, ela é impactante pois nos apresenta uma soma do número $1$ com uma potência do número positivo $e$, tendo como expoente o produto de $\pi$ com o número imaginário $i$ e tudo isso sendo igual a zero. Mas quem foi Euler? Segundo Boyer [1, p.324], Leonhard Euler foi um matemático Suiço que nasceu na Basiléia em 1707 e faleceu em 1783. De acordo com [1, p.325 e 327], deixou um grande legado, tanto na matemática pura como na matemática aplicada, produzindo mais de quinhentos livros e artigos. Destaca-se ainda a criação de uma importante área da matemática chamada de análise, fundamental na resolução de problemas pertencentes a geometria e matemática aplicada. Lembremos agora como os números complexos são abordados na forma mais usual. Em Soares [13, p.1], observamos que podemos iniciar a abordagem dos números complexos buscando a solução da equação $x^2+1=0.$ Sabemos que em $ℝ$ não existe solução para esta equação, então é necessário a definição de um conjunto em que ela passe a ter solução. Seja $i$ a solução da equação, isto é, $i^2=-1$, que não é um número real. O símbolo $i$ é chamado algarismo imaginário e os elementos da forma $z=a+bi$ são chamados de números complexos, em que $a$ é a parte real e $b$ a parte imaginária, denotados por $Re(z)$ e $Im(z)$, respectivamente. No conjunto dos números complexos, denotado por $ℂ$, as operações de adição e multiplicação são definidas da seguinte forma: seja $z_1=a_1+b_{1}i$ e $z_2=a_2+b_{2}i$ in $ℂ$, então $z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$, enquanto que $z_1\cdot z_2=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+b_1{a}_2)i$, do Carmo [10, pp.68-69]. Em Conway [2, p.1] e Soares [13, p.5], números complexos são pares ordenados $(a,b)$, onde $a$ e $b$ são números reais, satisfazendo as operações de adição e multiplicação, definidas por $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ e $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-d,bc+ad)$, respectivamente. E dessa forma $ℂ$ é um corpo. Agora, o corpo $ℝ$ é imerso em $ℂ$ via isomorfismo $a\mapsto (a\mathrm{,0})$ e sendo por definição $i=(\mathrm{0,1})$ então $(a,b)=a+bi$. Portanto, $(a,b)$ é o mesmo que $a+bi$.

Neste artigo, aborda-se os números complexos em sua forma matricial, de conformidade com [11] e [13]. Dentro deste contexto apresenta-se a Identidade de Euler em sua forma matricial. É importante observar que as representações de objetos matemáticos por matrizes são de fundamental importância tendo em vista a velocidade com que são realizadas as operações matricias usando algorítmos eficientes, o que é crucial em computação. Podemos citar como exemplo as rotações no plano, que podem ser representadas pela matriz de rotação. Representações dessa natureza são fundamentais em áreas como computação gráfica (Veja [6, p.75], [7, p.60]).

Este artigo está organizado da seguinte forma: Na seção dois são estudadas a representação matricial dos números complexos e suas propriedades, necessárias ao entendimento do texto. Além disso, as propriedades podem ser comparadas nas abordagens algébrica e matricial. Na seção três apresenta-se a forma polar e a identidade de Euler e sobre o artigo.m sua forma matricial, com base na matriz exponencial e suas propriedades. Na seção quatro são apresentadas as considerações finais sobre o artigo.

Por fim, destacamos que este artigo é parte de uma dissertação apresentada no Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional-PROFMAT, produzida na Universidade Federal de Roraima-UFRR, e escrita pelo segundo Autor sob a orientação do primeiro Autor (veja [12]).

2 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Nesta seção abordaremos a representação matricial dos números complexos. Consideremos o conjunto . Observe que o conjunto ${ℳ}_2(ℝ)$ é não
vazio, pois . Vamos definir a função $\mathrm{\Phi }:ℂ⟶{ℳ}_2(ℝ)$ por

A seguinte proposição nos garante que ${ℳ}_2(ℝ)$ tem estrutura de corpo e sua demonstração pode ser vista em Oliveira & Santos [11].

Proposição 2.1.

A função $\mathrm{\Phi }:ℂ⟶{ℳ}_2(ℝ)$ definida por satisfaz as seguintes propriedades:

i)

$\mathrm{\Phi }(z_1+z_2)=\mathrm{\Phi }(z_1)+\mathrm{\Phi }(z_2)$, para todo $z_1,z_2\in ℂ$;

ii)

$\mathrm{\Phi }(z_1\cdot z_2)=\mathrm{\Phi }(z_1)\cdot \mathrm{\Phi }(z_1)$, para todo $z_1,z_2\in ℂ$;

iii)

$\mathrm{\Phi }(z^{-1})=\mathrm{\Phi }{(z)}^{-1}$, para todo $z\in {ℂ}^{\ast }$.

iv)

$\mathrm{\Phi }(1)=I$;

v)

$\mathrm{\Phi }(i)=\Im$, onde

vi)

A função $\mathrm{\Phi }$ é bijetiva.

Devido ao fato de $\mathrm{\Phi }:ℂ⟶{ℳ}_2(ℝ)$ ser uma aplicação bijetiva conservando as operações de adição e multiplicação e suas propriedades, concluímos que as matrizes da forma se comportam da mesma maneira que os números complexos em relação à soma e ao produto. Assim, para cada número complexo $z=a+bi$ associamos a matriz

Temos então que $ℂ=\{aI+b\Im ,a,b\in ℝ\}.$ Como na motivação para criar os números complexos $z=a+ib$, onde $i$ é a solução da equação $x^2+1=0$, temos que $\Im$ é a solução da equação matricial

$$X^2+I=0.$$

Se $z=a+bi$ sabemos que o módulo de $z$ é dado por $\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$. E como seria o módulo de $Z=aI+b\Im$?

Como em Lima [9, p.10], ela é definida por

(2.1)

Por fim, apresentamos a Tabela 1 que traz uma síntese dos principais resultados, cuja demonstração podem ser encontradas em Oliveira & Silva [11], onde podemos comparar as propriedades nas abordagens algébrica e matricial.

Tabela 1: Propriedades dos números complexos

Representação algébrica	Representação matricial
$z=a+bi$	$Z=aI+b\Im$
$\overline{z}=a-bi$	$\overline{Z}=aI-b\Im$
${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\cdot {\displaystyle \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}}$	${\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}}={\displaystyle \frac{Z_1\cdot Z_2^t}{Det(Z_2)}}$
$Re(z)\le |Re(z)|\le |z|$	$\Vert Re(Z)\Vert \le \Vert Z\Vert$
$Im(z)\le |Im(z)|\le |z|$	$\Vert Im(Z)\Vert \le \Vert Z\Vert$
${|z|}^2=z\cdot \overline{z}$	${\Vert Z\Vert }^2=\Vert Z\cdot \overline{Z}\Vert$

Fonte: Autores

3 A IDENTIDADE DE EULER NA FORMA MATRICIAL

Nesta seção veremos como se apresenta a identidade de Euler em sua forma matricial. Para tanto necessitaremos da definição da exponencial de uma matriz.

Conforme Doering [4], a matriz exponencial de uma matriz $Z\in M_n(ℝ)$ é definida por

$$e^Z=I+Z+\frac{1}{2!}{Z}^2+\frac{1}{3!}{Z}^3+\mathrm{\cdots }+\frac{1}{j!}{Z}^j+\mathrm{\cdots }=\sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}{Z}^j,$$ (3.1)

onde por definição $Z^0=I$, $Z^1=Z$ e $Z^{j+1}=Z^j\cdot Z$.

Em particular (3.1) vale para as matrizes $Z\in ℂ$.

Podemos verificar, neste contexto, que de fato a exponencial (3.1) está bem definida. Para tanto precisamos da seguinte proposição:

Proposição 3.1.

Dado $Z\in ℂ$, então

1. $\Vert Z^m\Vert ={\Vert Z\Vert }^m,\forall m\in \mathbb{N}.$

2. ${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^n}{\displaystyle \frac{1}{j!}}\Vert Z^j\Vert \le {\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^n}{\displaystyle \frac{1}{j!}}{\Vert Z\Vert }^j.$

E para demonstramos a Proposição 3.1 precisamos dos seguinte lemas:

Lema 3.2.

As séries absolutamente convergentes em ${ℝ}^n$ são convergentes.

Conforme Doering [4] uma série ${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}}{x}_j$ em ${ℝ}^n$ é dita absolutamente convergente se a série ${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}}\Vert x_j\Vert$ for convergente. A prova do Lema 3.2 se encontra em Doering [4].

O próximo lema encontra-se em Oliveira & Silva [11], mas ao contrário do que ocorre nesta referência, aqui iremos demonstra-lo.

Lema 3.3.

Dados $Z_1,Z_2\in ℂ$, então $||Z_1\cdot Z_2|||=||Z_1||\cdot ||Z_2||$.

Demonstração:.

Sejam e elementos de ${ℳ}_2(ℝ)$, então

$Z_1\cdot Z_2$ $=$

$=$

Logo

${\Vert Z_1\cdot Z_2\Vert }^2$ $=$ ${(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2$

$=$ $a^2{c}^2+b^2{d}^2+b^2{c}^2+a^2{d}^2$

$=$ $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

$=$ ${\Vert Z_1\Vert }^2\cdot {\Vert Z_2\Vert }^2.$

Portanto,

$$\Vert Z_1\cdot Z_2\Vert =\Vert Z_1\Vert \cdot \Vert Z_2\Vert .$$

∎

Na demonstração da Proposição 3.1, item (1.), podemos usar indução completa aplicando o Lema 3.3, enquanto que o item (2.), demonstra-se usando a desigualdade triangular e o item (1.) da referida proposição.

Lembremos agora, que a série de Taylor da função exponencial, é dada por

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\mathrm{\cdots },$$

conforme pode ser visto em Lima [8, p.291]. Então

$$1+\Vert Z\Vert +\frac{1}{2!}{\Vert Z\Vert }^2+\frac{1}{3!}{\Vert Z\Vert }^2+\mathrm{\cdots }=e^{\Vert Z\Vert }\in ℝ.$$ (3.2)

Fazendo-se $n\to \mathrm{\infty }$, no item (2.) da proposição (3.1) e de (3.2), temos que

$$\sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}\Vert Z^j\Vert \le \sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}{\Vert Z\Vert }^j=e^{\Vert Z\Vert }.$$ (3.3)

A desigualdade (3.3) nos mostra que a série ${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}j=0\end{array}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{1}{j!}}{Z}^j$ é absolutamente convergente e portanto, pelo Lema 3.3, ela é convergente. Concluímos então que a série (3.1) está bem definida.

Isso mostra que a matriz exponencial de uma matriz $Z\in ℂ$ está bem definida. O seguinte lema é provado por indução.

Lema 3.4.

As potências de $\theta \Im$ para números:

1. pares são dadas por:

2. ímpares são dadas por:

Agora apresentaremos a forma polar de um número complexo na versão matricial.

Teorema 3.5.

(Forma polar) Seja $\theta \in ℝ$, então $e^{\theta \Im }=cos\theta I+sen\theta \Im .$

Demonstração:.

Iniciamos a demonstraçao lembrando que as séries de Taylor das funções seno e cosseno, conforme pode ser visto em Lima [8, p.291], são dadas por:

$cos\theta$ $=$ ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^j}{(2j)!}}{\theta }^{2j}\cdot$

$sen\theta$ $=$ ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^j}{(2j+1)!}}{\theta }^{2j+1}\cdot$

Sendo pelo lema (3.4) temos:

∎

E finalmente, para o caso particular em que $\theta =\pi$, obtemos a versão matricial da identidade de Euler:

$e^{\pi \Im }=-I.$

Ou equivalentemente,

$$2I+\pi \Im +\frac{{\pi }^2}{2!}{\Im }^2+\frac{{\pi }^3}{3!}{\Im }^3+\mathrm{\cdots }+\frac{{\pi }^j}{j!}{\Im }^j+\mathrm{\cdots }=0.$$

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho abordou a representação matricial de números complexos explorando algumas propriedades. Inicialmente foram estudadas a representação matricial de um número complexo e algumas propriedades básicas. Na sequência, foram comparadas as propriedades dos números complexos em sua forma algébrica e matricial. E finalmente, foi apresentada a representação matricial da identidade de Euler. Espera-se que este trabalho contribua significativamente para as atividades de pesquisa dos estudantes dos Cursos de Licenciatura em Matemática e também dos professores do Ensino Médio, ao lecionarem disciplinas eletivas, visando aprimorar a formação matemática dos alunos.