INTERMATHS, VOL. 4, NO. 1 (2023), 146–157
https://doi.org/10.22481/intermaths.v3i2.11179
Artigos Gerais
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Aplicação do método de fórmula de diferen-
ciação retrógrada 2-estágios (BDF2) em pro-
blemas de valor inicial
Application of the 2-Step Reverse Differentiation Formula Method
(BDF2) in Initial Value Problems
João Socorro Pinheiro Ferreira
a,∗
a
Universidade Federal do Amapá, Macapa, AP, Brasil
* Autor Correspondente: joaoferreira@unifap.br
Resumo: Neste texto são apresentados os resultados dos estudos de resolução de PVI por meio do
método de predição-correção. Para predição, foi utilizado o método explícito de Adams-Bashforth e
para a correção, o método implícito de Adams-Moulton. O método Diferenciação Retrógrada em dois
estágios (BDF2) é utilizado para resolver um problema de predição-correção com dois algoritmos que
utilizem um método de mais baixa ordem no passo preditor e um método de mesma ordem no passo
corretor e verificar se o método de Fórmula de BDF2 é zero-estável. O estudo do método BDF2 para
resolver um esquema implícito, exige como pré-requisito os Métodos de Múltiplos Passos Lineares ou
Passos Múltiplos Lineares (MMLs), o Erro de Truncamento Local (ETL) – para verificar à consistência,
e o polinômio característico para a verificar se o método é zero-estável.
Palavras-chave: LeVeque; MRK4; Predição-Correção; Estabilidade Zero.
Abstract: In this text, the results of the PVI resolution studies using the prediction-correction method
are presented. For prediction, the explicit method of Adams-Bashforth was used and for correction,
the implicit method of Adams-Moulton. The Retrograde Differentiation method in two long methods
(BDF2) is used to solve a prediction correction problem with two lower-order methods of using a
predictor and a verification method in the same way in the correct step and checking the order of BDF2
correction formula is zero-stable. The study of the BDF2 method to solve an implicit scheme requires,
as a prerequisite, the Linear Steps or Multiple Linear Steps Methods (MLSMs), the Local Truncation
Error (LTE) - to verify the consistency, and the characteristic polynomial to verify if the method is
zero-stable.
keywords: LeVeque, MRK4, Prediction-Correction, Zero Stability.
Classification MSC: 00A69; 00A79
1 Introdução
Este trabalho tem como objetivo apresentar o resultado de um Método de Fórmula de
Diferenciação Atrasada ou Retrógrada em dois estágios (BDF2): um implícito e outro
Recebido em: 06 de setembro de 2022; Aceito em: 22 novembro de 2022; Publicado em: 30 junho 2023
ISSN 2675-8318 ©2023 INTERMATHS. Publicado por Edições UESB. Este é um artigo de acesso aberto sob a licença CC BY 4.0.
explicito. Para alcançá-lo, realizamos uma revisão de literatura sobre os objetos de
conhecimentos necessários para a compreensão do problema.
O método estudado é implícito, isto é, quando
β
2
= 2 e zero-estável, porque os dois
autovalores têm módulos menores ou iguais a um.
A estrutura deste artigo é composta por Referencial Teórico, que é contém os objetos
de conhecimentos necessários e suficientes sobre o tema e dá um suporte teórico para a
resolução da aplicação.
Para plotar as regiões de estabilidade absoluta e o seu complemento, utilizamos o
código fonte do arquivo.m do PlotS, do MATLAB.
2 Referencial Teórico
2.1 Métodos Lineares de Múltiplos Passos (LMMs)
Os métodos apresentados em [
1
] são membros de uma classe de métodos chamados
Métodos de Multipassos Lineares (LMMs). Em geral, um LMM de r-passo tem a forma
r
X
j=0
α
j
U
n+j
= kβ
j
f
U
n+j
, t
n+j
. (1)
O valor
U
n+r
é calculado a partir desta equação em termos dos valores anterio-
res
U
n+r−1
, U
n+r−2
, ···
. Os valores
U
n
e
f
nesses pontos podem ser armazenados e
reutilizados se f for computacionalmente caro para avaliar. [2], [3]
Para os estudos neste trabalho, tem-se um exemplo, para r = 2 em Eq. (1):
α
0
U
n
+α
1
U
n+1
+α
2
U
n+2
= k
h
β
0
f(U
n
, t
n
) + β
1
f
U
n+1
, t
n+1
+ β
2
f
U
n+2
, t
n+2
i
. (2)
Se
β
r
= 0, então o método Eq. (1) é explícito; caso contrário, é implícito. Observe
que pode-se multiplicar ambos os lados por uma constante qualquer e ter essencialmente
o mesmo método, embora os coeficientes
α
j
e
β
j
mudem. A normalização
α
r
= 1 é
frequentemente assumida para corrigir este fator de escala.
Para, β
2
= 0 em Eq. (2), tem-se um método explícito:
α
0
U
n
+ α
1
U
n+1
+ α
2
U
n+2
= k
h
β
0
f(U
n
, t
n
) + β
1
f
U
n+1
, t
n+1
i
. (3)
Para α
2
= 1, em Eq. (3), tem-se um método explícito normalizado:
α
0
U
n
+ α
1
U
n+1
+ U
n+2
= k
h
β
0
f(U
n
, t
n
) + β
1
f
U
n+1
, t
n+1
i
. (4)
Existem classes especiais de métodos desta forma que são particularmente úteis e têm
nomes distintos. Estes serão escritos para o caso autônomo onde
f
(
u, t
) =
f
(
u
) para
simplificar as fórmulas, mas cada uma pode ser usada de forma mais geral substituindo
f (U
n+1
) por f(U
n+j
, t
n+j
) em qualquer uma das fórmulas.
Por exemplo, os métodos de Adams têm a forma
U
n+r
= U
n+r−1
+ k
r
X
j=0
β
j
f
U
n+j
. (5)
J. S. P. Ferreira INTERMATHS, 4(1), 146–157, Junho 2023 | 147
Todos esses métodos têm
α
r
= 1, α
r−1
= −1 α
j
= 0, para j < r − 1.
Por exemplo, pelas condições acima, no método da Eq. (4) os coeficientes são
α
0
= 0,
α
1
= −1, tornando-se o método explícito normalizado, conforme
−U
n+1
+ U
n+2
= k
h
β
0
f(U
n
, t
n
) + β
1
f
U
n+1
, t
n+1
i
.
Os coeficientes
β
j
são escolhidos para maximizar a ordem de precisão. Caso
β
r
= 0
então o método é explícito, então os
r
coeficientes
β
0
, β
1
, ··· , β
r−1
podem escolher a
ordem
r
do método. Neste caso a expansão em série de Taylor do erro de truncamento
local (ETL) e, em seguida, escolhendo o
β
j
para eliminar o maior número possível de
termos. Isto fornece os métodos explícitos de Adams– Bashforth (AB).
Com r = 1 em Eq. (5):
U
n+1
= U
n
+ k
P
1
j=0
β
j
f (U
n+j
)
= U
n
+ k [β
0
f (U
n
) + β
1
f (U
n+1
)]
e β
1
= 0:
1-passo : U
n+1
= U
n
+ kf(U
n
) (Euler Avançado).
(6)
Com r = 2 em Eq. (5):
U
n+2
= U
n+1
+ k
P
2
j=0
β
j
f (U
n+j
)
= U
n+1
+ k [β
0
f (U
n
) + β
1
f (U
n+1
) + β
2
f (U
n+2
)] ,
β
0
= −
1
2
, β
1
= 6 e β
2
= 0:
2-passos : U
n+2
= U
n+1
+
k
2
[−f(U
n
) + 3f(U
n+1
)]
Com r = 3 em Eq. (5):
U
n+3
= U
n+2
+ k
P
3
j=0
β
j
f (U
n+j
)
= U
n+2
+ k [β
0
f (U
n
) + β
1
f (U
n+1
) + β
2
f (U
n+2
) + β
3
f (U
n+3
)] ,
β
0
=
5
12
, β
1
= −
16
12
, β
2
=
23
12
e β
3
= 0:
3-passos : U
n+3
= U
n+2
+
k
12
[5f(U
n
) −16f(U
n+1
) + 23f(U
n+2
)] .
Com r = 4 em Eq. (5):
U
n+4
= U
n+3
+ k
P
4
j=0
β
j
f (U
n+j
)
= U
n+3
+ k [β
0
f (U
n
) + β
1
f (U
n+1
) + β
2
f (U
n+2
) + β
3
f (U
n+3
) + β
4
f (U
n+4
)] ,
β
0
= −
9
24
, β
1
=
37
24
, β
2
= −
59
24
, β
3
=
55
24
e β
4
= 0:
4-passos : U
n+4
= U
n+3
+
k
24
[−9f(U
n
) + 37f(U
n+1
) −59f(U
n+2
) + 55f(U
n+3
)] .
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De modo análogo, com
β
r
̸
= 0, escrevemos os métodos implícitos de Adams-Moulton
(AM):
1-passo : U
n+1
= U
n
+
k
2
[f(U
n
) + f(U
n+1
)] (Método Trapezoidal)
(7)
2-passos : U
n+2
= U
n+1
+
k
12
[−f(U
n
) + 8f(U
n+1
) + 5f (U
n+2
)]
(8)
3-passos : U
n+3
= U
n+2
+
k
24
[f(U
n
) −5f(U
n+1
) + 19f(U
n+2
) + 9f(U
n+3
)]
4-passos : U
n+4
= U
n+3
+
k
720
[−19f(U
n
) + 106f(U
n+1
) −264f(U
n+2
)+
646f(U
n+3
) + 251f(U
n+4
)] .
2.2 Valores iniciais
Uma dificuldade em usar LMMs se
r >
1 é que precisamos dos valores
U
0
, U
1
, ···U
r−1
antes de podermos começar a aplicar o método de várias etapas. O valor
U
0
=
η
é
conhecido a partir dos dados iniciais para o problema, mas os outros valores não são e
normalmente devem ser gerados por algum outro método ou métodos numéricos. [
4
], [
5
]
Uma maneira de obter maior precisão de ordem é usar um método de vários passos
(etapas) que envolve outros valores anteriores. Por exemplo, usando a aproximação
U
n+1
− U
n−1
2k
= f (U
n
), (9)
que é um método explícito de 2-passos com precisão (acurácia) de segunda ordem.
Se quisermos usar o método do ponto médio Eq. (9), precisamos gerar
U
1
por algum
outro método antes de começarmos a aplicar Eq. (9) com
n
= 1. Podemos obter
U
1
de
U
0
usando qualquer método de 1-passo, como o método de Euler ou o método
trapezoidal, ou uma série de Taylor de ordem superior ou o método de Runge–Kutta.
Como o método do ponto médio é preciso de segunda ordem, precisamos ter certeza de
que o valor
U
1
que geramos é suficientemente preciso para que essa precisão de segunda
ordem não seja perdida.
2.3 Erro de truncamento local (τ)
Para LMMs, é fácil deduzir uma fórmula geral para o Erro de Truncamento Local
(ETL). Nós temos
τ(t
n+r
) =
1
k
r
X
j=0
α
j
u(t
n+j
) −k
r
X
j=0
β
j
u
′
(t
n+j
)
.
Usamos
f
(
u
(
t
n+j
)) =
u
′
(
t
n+j
) já que
u
(
t
) é a solução exata da EDO. Assumindo que
u
é suave e expandindo em série de Taylor
u(t
n+j
) = u(t
n
) + jku
′
(t
n
) +
1
2
(jk)
2
u
′′
(t
n
) + ···
u
′
(t
n+j
) = u
′
(t
n
) + jku
′′
(t
n
) +
1
2
(jk)
2
u
′′′
(t
n
) + ···
J. S. P. Ferreira INTERMATHS, 4(1), 146–157, Junho 2023 | 149
e então
τ(t
n+r
) =
1
k
P
r
j=0
α
j
u(t
n
) +
P
r
j=0
(jα
j
− β
j
)
u
′
(t
n
)+
k
P
r
j=0
1
2
j
2
α
j
− jβ
j
u
′′
(t
n
) + ···+
k
q−1
P
r
j=0
1
q!
j
q
α
j
−
1
(q−1)!
j
q−1
β
j
u
(q)
(t
n
) + ··· .
O método é consistente se
τ →
0 quando
k →
0, que exige que pelo menos os dois
primeiros termos nesta expansão desaparecem:
r
X
j=0
α
j
= 0 e
r
X
j=0
jα
j
=
r
X
j=0
β
j
. (10)
Se os primeiros termos
p
+ 1 desaparecerem, então o método terá uma precisão de ordem
p
. Observe que essas condições dependem apenas dos coeficientes
α
j
e
β
j
do método e
não da equação diferencial particular que está sendo resolvida.
2.4 Polinômios característicos
É conveniente neste ponto introduzir os chamados polinômios característicos
ρ
(
ζ
) e
σ(ζ) para o LMM:
ρ(ζ) =
r
X
j=0
α
j
ζ
j
e σ(ζ) =
r
X
j=0
β
j
ζ
j
. (11)
O primeiro deles é um polinômio de grau
r
. O mesmo acontece com
σ
(
ζ
) se o método
for implícito; de outra forma seu grau é menor que
r
. Observe que
ρ
(1) =
P
α
j
e que
ρ
′
(
ζ
) =
P
jα
j
ζ
j−1
, de modo que as condições de consistência Eq. (10) podem ser escritas
de forma bastante concisa como condições nesses dois polinômios:
ρ(1) = 0 e ρ
′
(1) = σ(1). (12)
Esta, no entanto, não é a principal razão para a introdução desses polinômios. A
localização das raízes de certos polinômios relacionados
ρ
e
σ
desempenha um papel
fundamental na teoria de estabilidade, como veremos nesta pesquisa.
Por exemplo, o método implícito de Adams-Moulton em duas etapas (ou 2-passos),
Equação Eq. (8), tem os polinômios característicos de grau r = 2, a seguir:
ρ(ζ) = ζ
2
− ζ e σ(ζ) =
1
12
−1 + 8ζ + 5ζ
2
(13)
O passo seguinte é verificar se as condições Eq. (12) são cumpridas: o valor numérico
ρ(1) = 1
2
− 1 = 0
, o que atende à primeira condição; para a segunda condição, a primeira
derivada do primeiro polinômio é:
ρ
′
(ζ) = 2ζ − 1
e
ρ
′
(1) = 1
e
σ(1) = 1
„ o que implica
ρ
′
(1) = σ(1)
. Como as duas condições de consistência Eq. (12)(5.52) são verdadeiras,
logo método implícito de Adams-Mouton de duas etapas é Consistente.
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2.5 Convergência
O PVI assume a forma
u
′
(t) = f(u(t), t) (14)
para t > t
0
, com a condição inicial
u(t
0
) = η. (15)
Frequentemente, assumiremos t
0
= 0 por simplicidade.
Para discutir a convergência de um método numérico para o problema de valor inicial,
focamos em um tempo fixo (mas arbitrário)
T >
0 e consideramos o erro em nossa
aproximação de
u
(
T
) computado com o método usando passo de tempo
k
. O método
converge para este problema se este erro vai para zero quando
k →
0. Observe que
o número de passos de tempo que precisamos dar para atingir o tempo
T
aumenta à
medida que
k →
0. Se usarmos
N
para denotar este valor (
N
=
T/k
), então convergência
significa que
lim
k → 0
Nk = T
U
ν
= η (16)
Em princípio, um método pode convergir em um problema, mas não em outro, ou
convergir com um conjunto de valores iniciais, mas não com outro conjunto. Para
falar de um método convergente em geral, exigimos que ele convirja em todos os
problemas em uma escala razoavelmente grande. classe com todos os valores iniciais
razoáveis. Para um método de
r
passos, precisamos de
r
valores iniciais. Esses valo-
res normalmente dependerão de
k
, e para deixar isso claro, vamos escrevê-los como
U
0
(
k
)
, U
1
(
k
)
, ··· , U
r−1
(
k
). Embora estes geralmente se aproximem de
u
(
t
) nos tempos
t
0
= 0
, t
1
=
k, ···t
r−1
= (
r −
1)
/k
, respectivamente, quando
k →
0, cada uma dessas
vezes se aproxima de
t
0
= 0. Portanto, a condição mais fraca que podemos colocar em
nossos valores iniciais é que eles convergem para o valor inicial correto quando k → 0:
lim
k→0
U
ν
(k) = η (17)
para ν = 0, 1, ··· , r − 1.
Definição 2.1. Diz-se que um método de
r−
passos é convergente se aplicar o método a
qualquer EDO Eq. (14) com
f
(
u, t
) Lipschitz contínua em
u
, e com qualquer conjunto
de valores iniciais satisfazendo Eq. (17), obtemos convergência no sentido de Eq. (16)
para todo tempo fixo T > 0 no qual a EDO tem uma única solução.
2.6 Métodos preditores-corretores
A ideia de comparar resultados obtidos com métodos de ordens diferentes como forma
de escolher o passo de tempo, discutido para métodos de Runge–Kutta é também usado
com LMMs . Uma abordagem é usar um método preditor-corretor, no qual um método
explícito de Adams–Bashforth de alguma ordem é usado para prever um valor
ˆ
U
n+1
e,
em seguida, o método Adams–Moulton da mesma ordem é usado para “corrigir” este
valor. Isso é feito usando
ˆ
U
n+1
no lado direito do método Adams-Moulton dentro da
J. S. P. Ferreira INTERMATHS, 4(1), 146–157, Junho 2023 | 151
avaliação de
f
, então que a fórmula de Adams-Moulton não está mais implícita. Por
exemplo, o método explícito de 1-passo de Adams-Bashforth (método de Euler), Equação
Eq. (6), e o método implícito de Adams-Moulton de 1-passo (o método trapezoidal),
Equação Eq. (7), podem ser combinados em
ˆ
U
n+1
= U
n
+ kf(U
n
) (Euler Avançado).
U
n+1
= U
n
+
k
2
h
f(U
n
) + f(
ˆ
U
n+1
)
i
(Método Trapezoidal)
Pode-se mostrar que este método é preciso de segunda ordem, como o método
trapezoidal, mas também gera uma aproximação de ordem inferior e a diferença entre
as duas pode ser usada para estimar o erro.
Portanto, os métodos do tipo preditor-corretor empregam um esquema explícito para
predizer o valor de
U
n+1
e, depois, um método implícito para recalcular, isto é, para
corrigi-lo.
3 RESULTADO E DISCUSSÃO
Seja o Método BDF2 (Fórmula de Diferenciação Retrógrada)
3U
n+2
− 4U
n+1
+ U
n
= 2∆tf(U
n+2
). (18)
(a)
Apresente dois algoritmos de predição-correção para a sua resolução que utilizem
(a1) Um método de mais baixa ordem no passo preditor.
(a2) Um método de mesma ordem no passo preditor.
(b)
Defina Estabilidade Zero de um método linear de passos múltiplos e verifique se o
método Eq. (18) é zero-estável.
3.1 Item (a)
(a)
Comparando-se às Equações Eq. (18) e Eq. (1), temos os seguintes coeficientes:
α
0
= 1
, α
1
=
−
4 e
α
2
= 3;
β
0
=
β
1
= 0 e
β
2
= 2
̸
= 0, como
β
2
̸
= 0, logo Eq. (18)
é um método implícito de 2-passos. No lugar de ∆
t
, escreveremos
k
, que é o
tamanho do passo no tempo.
A normalização de Eq. (18), ocorre ao dividi-lo por
α
2
= 3 e será reescrito conforme
a seguir:
U
n+2
−
4
3
U
n+1
+
1
3
U
n
=
2
3
kf(U
n+2
). (19)
(a1)
Uma abordagem é usar um método preditor-corretor, no qual um método
explícito de Adams– Bashforth de alguma ordem é usado para prever um
valor
ˆ
U
n+1
= U
n
+ kf(U
n
).
(a2)
e, em seguida, o método Adams–Moulton de mesma ordem é usado para
“corrigir” este valor U
n+1
= U
n
+
1
2
k
f(U
n
) + f(
ˆ
U
n+1
)
.
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3.2 Item (b)
(b) Vamos definir Estabilidade Zero-Estável.
Definição 3.1. Um LMM
r−
passos é dito zero-estável se as raízes do polinômio
característico ρ(ζ) definido por Eq. (11), satisfaz as seguintes condições:
|ζ
j
| ≤ 1 para j = 1, ··· , r
Se ζ
j
é uma raiz repetida, então |ζ
j
| < 1.
(20)
Se as condições Eq. (20) forem satisfeitas para todas as raízes de
ρ
, então o
polinômio é dito que satisfaz a condição de raiz para zero-estável.
Neste problema, a equação Eq. (18) tem para a equação diferencial
u
′
(
t
) = 0
tem-se a equação diferencial
3U
n+2
− 4U
n+1
+ U
n
= 0. (21)
O polinômio característico da parte homogênea da Equação Eq. (18), com
α
r
=
α
2
= 3 é:
ρ(ζ) = 3
ζ
2
−
4
3
ζ +
1
3
= 3
ζ −
1
3
(ζ − 1). (22)
Então, a primeira condição de Eq. (12) é satisfeita, porque:
ρ(1) = 0.
Para verificar a segunda condição de Eq. (12), a primeira derivada do polinômio
Eq. (22) é:
ρ
′
(ζ) = 6ζ − 4 = 2(3ζ − 2).
e
ρ
′
(1) = 2. (23)
Se o polinômio característico na parte não homogênea é:
σ(ζ) = 2ζ
2
, (24)
então
σ(1) = 2, (25)
Portanto, Eq. (23) é igual a Eq. (25), ratificando a segunda condição de Eq. (12).
Com estes dois resultados, podemos estabelecer a consistência do referido PVI,
através das raízes do polinômio característico, que neste caso são os autovalores
da equação característica da EDO.
Os autovalores de Eq. (22) são:
ζ
1
=
1
3
e ζ
2
= 1. (26)
Portanto, é zero-estável, porque os autovalores não são repetidos e os módulos são
menores ou iguais a 1, em conformidade com as condições de zer0-estabilidade
Eq. (20).
J. S. P. Ferreira INTERMATHS, 4(1), 146–157, Junho 2023 | 153
3.2.1 Solução Exata
Como a equação diferencial é linear, qualquer combinação linear de soluções é
novamente uma solução. Se
ζ
1
, ζ
2
, ··· , ζ
r
são distintos (
ζ
i
̸
=
ζ
j
para
i ̸
=
j
), então
as
r
soluções distintas em
ζ
n
i
são linearmente independentes e a solução geral de
Eq. (1) tem a forma
U
n
= c
1
ζ
1
1
+ ··· + c
r
ζ
n
r
, (27)
onde
c
1
, ··· , c
r
são constantes arbitrárias. Neste caso, toda solução da equação de
diferença Eq. (1) tem esta forma. Se as condições iniciais
U
0
, U
1
, ··· , U
r−1
são
especificados, então as constantes
c
1
, ··· , c
r
pode ser determinado exclusivamente
resolvendo o sistema linear r × r.
Com base na Equação Eq. (27), a solução exata ou verdadeira da equação homo-
gênea Eq. (21) é:
U
n
= c
1
ζ
n
1
+ c
2
ζ
n
2
. (28)
Substituir os autovalores Eq. (26) em Eq. (28):
U
n
= c
1
1
3
n
+ c
2
(29)
para n = 0, 1, ···.
Para determinar as constantes
c
1
e
c
2
, deve-se resolver o sistema Eq. (27), com
n = 0 e 1:
c
1
+ c
2
= U
0
c
1
1
3
+ c
2
= U
1
.
Neste caso,
c
1
=
3
2
U
0
− U
1
e c
2
=
1
2
3U
1
− U
0
. (30)
A equação de diferença linear homogênea Eq. (21) pode ser resolvida explicitamente
para
U
n
em termos dos valores iniciais
U
0
e
U
1
=
k
, ao substituir Eq. (30) em
Eq. (29). Obtemos:
U
n
=
3
2
(U
0
− U
1
)
1
3
n
+
1
2
(3U
1
− U
0
)
(31)
n = 0, 1, ···.
Precisamos de dois valores iniciais
U
0
e
U
1
. Se tomarmos
U
0
=
U
1
= 0, então
Eq. (31) gera
U
n
= 0 para todo
n
e neste caso certamente convergimos para a
solução correta, e de fato nós obtemos a solução exata para quaisquer k.
Mas em geral não teremos o valor exato
U
1
disponível e teremos que aproximar
isso, introduzindo algum erro no cálculo. A Tabela 1 mostra os resultados obtidos
aplicando este método com dados iniciais
U
0
= 0
, U
1
=
k
. Desde que
U
1
(
k
)
→
0 quando
k →
0, são dados iniciais válidos no contexto da Definição 2.1 de
convergência. Se o método for convergente, devemos ver que
U
N
, a solução
calculada no tempo
T
= 1, converge para zero quando
k →
0. Em vez disso,
154 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v3i2.11179 J. S. P. Ferreira
ele explode de forma bastante dramática. Resultados semelhantes seriam vistos
se aplicássemos esse método a uma equação arbitrária
u
′
=
f
(
u
) e usássemos
qualquer método de uma etapa para calcular U
1
a partir de U
0
.
U
N
=
3
2N
1 −
1
3
N
!
. (32)
para N = 1, 2, ···.
Tabela 1. Solução U
N
para Eq. (21) com U
0
= 0 , U
1
= k e vários valores de k = 1/N
N k = 1/N U
0
= 0 U
1
= k U
N
1 1.0000 0 1.0000 1.0000
5 0.2000 0 0.2000 0.2988
10 0.1000 0 0.1000 0.1500
15 0.0667 0 0.0667 0.1000
20 0.0500 0 0.0500 0.0750
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N → ∞ k → 0 − U
1
(k) → 0 −
Fonte: Elaborado pelo autor
Na Figura 1, plotamos o gráfico da solução Eq. (32) , para
N
= 0
, ··· ,
20 e
observamos que o lim
k→0
U
N
= 0.
Figura 1. Gráfico da função Eq. (32)
Fonte: Elaborado pelo autor
O polinômio de estabilidade pode ser expresso em termos dos polinômios caracte-
rísticos para o LMM como
π (ζ; z) = ρ(ζ) − zσ(ζ). (33)
Substituir os polinômios Eq. (22) e Eq. (24) em Eq. (33), tem-se:
J. S. P. Ferreira INTERMATHS, 4(1), 146–157, Junho 2023 | 155
π (ζ, z) = (3 − 2z) ζ
2
− 4ζ + 1, (34)
cujas raízes complexas são:
ζ
1,2
=
2 ±
√
1 + 2z
3 − 2z
. (35)
A região de estabilidade absoluta deve corresponder a região delimitada por
2 ±
√
1 + 2z
3 − 2z
≤ 1. (36)
Figura 2. Regiões de estabilidade absoluta e complementar (ordem estrela) de R(z) =
2+
√
1+2z
3−2z
(a) y = x (b) y = 3 sin x
Para encontrar a região de estabilidade absoluta, deve-se resolver à inequação modular
Eq. (36):
−1 ≤
2 ±
√
1 + 2z
3 − 2z
≤ +1 ⇔
2z − 3 ≤ 2 ±
√
1 + 2z
e
2 ±
√
1 + 2z ≤ 3 − 2z
A solução da primeira inequação é:
S
1
=
z ∈ C;
3
2
≤ z ≤ 4
(37)
e, da segunda inequação, é:
S
2
=
z ∈ C; 0 ≤ z ≤
3
2
. (38)
Portanto, a solução é:
S = S
1
∪ S
2
= {z ∈ C; 0 ≤ z ≤ 4}, (39)
conforme a região interior da Figura 2(a). Na Figura 2(b), também plotamos a Ordem
Estrela (complemento da região de estabilidade relativa).
156 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v3i2.11179 J. S. P. Ferreira
4 CONCLUSÃO
Os métodos BDFs, são classificados em função do número de passos, como na Aplicação,
foi indicado o de dois passos, por isso recebe a denominação de BDF2.
O método BDF2 modelado pela Equação Eq. (18) é Consistente, tendo em vista que
atende as duas condições do ETL, definidas pela Equação Eq. (10), isto porque à primeira,
2
X
j=0
α
j
= α
0
+ α
1
+ α
2
= 1 + (−4) + 3 = 0
e à segunda:
2
X
j=0
jα
j
= 0
·α
0
+ 1
·α
1
+ 2
·α
2
=
0
·
1 + 1
·
(
−
4) + 2
·
3 = 2;
2
X
j=0
β
j
=
β
0
+
β
1
+
β
2
= 0 + 0 + 2 = 2. Como o somatório dos
coeficientes
α
’s é nulo e os somatórios dos
jα
j
’s e
β
j
’s são iguais, logo o método BDF2 é
Consistente.
Confirmamos em Eq. (26), que o método estudado é Zero-Estável.
Para o LMMs aplicados ao problema de valor inicial para
u
′
(
t
) =
f
(
u
(
t
)
, t
) ser
Convergente, devemos ter:
Consistência
+
Zero-Estabilidade ⇔ Convergência
, o que se
verifica no decorrer dos estudos. Um LMM consistente sempre tem uma raiz igual a 1,
neste caso, ζ
2
= 1, chamada de raiz principal. Isso segue das condições Eq. (12).
Referências
1.
J. LeVeque, Finite difference methods for ordinary and partial differential equations:
steady-state and time-dependent problems , Society for Industrial and Applied Mathematics,
2007. https://doi.org/10.1137/1.9780898717839
2.
J. D. Lambert. Computational Methods in Ordinary Differential Equations , New York:
John Wiley, 1973.
3.
B. P. Sommeijer, L. F. Shampine and J. G. Verwer, “ RKC: An explicit solver for parabolic
PDEs ”, Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 88, no. 2, pp. 315 -
326, 1998. https://doi.org/10.1016/S0377-0427(97)00219-7
4.
C. W. Gear Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations , En-
glewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1971.
5.
E. Hairer, S. P. Nørsett, and G. Wanner Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff
and Differential-Algebraic Problems, New York: Springer-Verlag, 1993.
6.
L. F. Shampine and M. W. Reichelt, “The matlab ode suite”, SIAM journal on scientific
computing, vol. 18, no. 1, pp. 1 - 22, 1997. https://doi.org/10.1137/s1064827594276424
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