INTERMATHS, VOL. 4, NO. 1 (2023), 118–134
https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.11784
Artigos Gerais
cb licença creative commons
Abordagem de polígonos com materiais didáticos
manipulativos: uma proposta de utilização do Ori-
gami e do Tangram
Approach of polygons with manipulative teaching materials: a proposal for
the use of Origami and Tangram
Daniel de Sousa Caldeira
a,∗
, Fernanda Andrea F. Silva
a
a
Instituto Federal da Paraíba (IFPB), Cajazeiras - PB, Brasil
* Correspondência para: daniel.caldeira@academico.ifpb.edu.br
Resumo: O presente estudo trata-se de um recorte do TCC do autor deste artigo que teve como objetivo
propor e analisar a abordagem de uma situação de ensino envolvendo polígonos com o auxílio de materiais
didáticos manipulativos, Origami e Tangram, visando o desenvolvimento do pensamento geométrico de
alunos do 6° ano do ensino fundamental. Para este artigo, objetivamos apresentar a análise de duas das
atividades propostas na situação de ensino abordada, acentuando as potencialidades existentes nesse
processo, além de aprofundarmos a análise realizada pelo o autor. Sobre a importância e contribuição
dos materiais didáticos manipulativos no ensino da matemática tivemos como fundamentação Passos e
Lorenzato, já em relação à análise e desenvolvimento da situação de ensino composta por 5 atividades,
nos fundamentamos em Costa e Câmera dos Santos que abordam a teoria Vanhieliana- Desenvolvimento
do pensamento geométrico. A análise dos dados foi embasada nas informações obtidas nas atividades
propostas da situação de ensino aplicada para 17 alunos de uma turma de 6° ano do ensino fundamental,
de uma escola da rede municipal de Monte Horebe-PB, realizada pelo autor deste artigo em seu TCC.
Verificamos que a abordagem adotada, além de tornar as aulas dinâmicas e atribuir significado aos
conceitos geométricos trabalhados, promoveu a interação e o desenvolvimento do pensamento geométrico.
Além de ter proporcionado momentos de investigação e de desenvolvimento da criatividade.
Palavras-chave: Materiais manipuláveis; Pensamento geométrico; Polígonos; Origami; Tangram.
Abstract: The present study is an excerpt from the TCC of the author of this article, which aimed to
propose and analyze the approach of a teaching situation involving polygons with the aid of manipulative
didactic materials, Origami and Tangram, aiming at the development of geometric thinking in 6th grade
students of elementary school. For this article, we aim to present the analysis of two of the activities
proposed in the teaching situation addressed, emphasizing the existing potential in this process, in
addition to deepening the analysis carried out by the author. Regarding the importance and contribution
of manipulative didactic materials in the teaching of mathematics, we had Passos and Lorenzato as a
foundation, in relation to the analysis and development of the teaching situation composed of 5 activities,
we based ourselves on Costa and Câmara dos Santos who address the Vanhielian- Development of
geometric thinking. Data analysis was based on information obtained from the proposed activities
of the teaching situation applied to 17 students from a 6th grade class of elementary school, from a
municipal school in Monte Horebe-PB, carried out by the author of this article in his TCC. We found
that the adopted approach, in addition to making the classes dynamic and assigning meaning to the
geometric concepts worked on, promoted interaction and the development of geometric thinking. In
addition to having provided moments of research and development of creativity.
keywords: Manipulable materials; Geometric thinking; Polygons; Origami; Tangram.
Recebido em: 29 dezembro 2022 Aceito em: 29 abril 2023 Publicado em: 30 junho 2023
ISSN 2675-8318 ©2023 INTERMATHS. Publicado por Edições UESB. Este é um artigo de acesso aberto sob a licença CC BY 4.0.
Introdução
Tornar o aluno protagonista no processo de ensino e aprendizagem, levá-los a reflexão e
ao desenvolvimento de estratégias são elementos primordiais para o raciocínio matemático
quando trabalhados com o viés das metodologias ativas. A Base Nacional Comum
Curricular– BNCC [
1
], por exemplo, sugerem o uso de recursos didáticos como os
materiais manipulativos nas aulas de matemática, visto que são essenciais para a
construção dos conceitos matemáticos, em especial os conceitos geométricos.
Entretanto, [
2
] afirma que “Os alunos do ensino básico têm apresentado baixos
desempenhos em Geometria nas avaliações em larga escala, em âmbitos estadual (PER-
NAMBUCO, 2015), nacional (BRASIL, 2015) e internacional (OECD, 2015)” [
2
, p.
03]. Assim sendo, entendemos que algumas medidas devem serem tomadas, visando a
inversão desse cenário.
Julgamos fortemente que vários são os fatores que contribuem com esta triste realidade,
acreditamos ainda que o maior deles, seja a forma como os conhecimentos geométricos
são trabalhados em sala de aula. Frequentemente, a unidade temática geometria
ainda é ignorada ou abordada de forma superficial pelo professor, não favorecendo o
desenvolvimento das habilidades e competências necessárias aos discentes [
3
], [
4
] e [
5
].
Além disso, a inquietude e desmotivação fazem parte do perfil de alguns estudantes,
somados a questões históricas de que a matemática é uma das disciplinas mais complexas
da matriz curricular, o que torna o ensino da disciplina um desafio ainda maior, levando
assim, o professor a buscar alternativas que driblem essa realidade, no intuito de promover
a aprendizagem [6].
Assim sendo, este trabalho teve por objetivo apresentar a análise de duas das atividades
propostas na situação de ensino abordada no Trabalho de Conclusão de Curso- TCC do
autor deste artigo, realizado com alunos do 6º ano do ensino fundamental de uma escola
municipal situada na zona rural de Monte Horebe-PB, enfatizando o desenvolvimento do
pensamento geométrico a partir o uso do Tangram e do Origami no ensino dos polígonos.
Não é de hoje que o ensino requer dinamicidade, ludicidade e o principal a participação
do aluno, sendo este um personagem primordial da sala de aula, dentro dessa perspectiva,
[
7
] acredita que aulas tradicionais e monótonas onde o aluno é um mero receptor passivo
não é um bom caminho para a construção do conhecimento, e se mantida a adoção
dessas velhas práticas, não será possível inverter o quadro atual de fracasso escolar.
Nesse sentido, buscamos utilizar os materiais manipuláveis, Origami e Tangram para
abordar polígonos a partir da sua construção, possibilitando uma aula dinâmica onde o
aluno é o protagonista no processo de aprendizagem.
Por outro lado, devemos compreender que usar recursos didáticos não é garantia de
uma boa aula, muito menos de aprendizagem, o que determina o sucesso ou não, é a
forma como se é utilizado. Isto é, o uso desses recursos didáticos deve ser planejado e
interligado a metodologias que agreguem ao processo de aprendizagem, uma vez que
quando não existe uma finalidade e metas traçadas em nada irão acrescentar. Isto é,
para se alcançar os resultados almejados é necessário planejamento.
Daniel de S. Caldeira; Fernanda A. F. Silva INTERMATHS, 4(1), 118–134, Junho 2023 | 119
Desse modo buscamos compreender as contribuições que os recursos didáticos mani-
puláveis podem trazer para o ensino dos polígonos e o desenvolvimento do pensamento
geométrico.
1
O Desenvolvimento do Pensamento Geomátrico e o Ensino de
Geometria com o Uso de Materiais Manipulativos
Buscando compreender as razões das dificuldades de aprendizagem em geometria
apresentadas por alunos de uma escola de ensino básico de Amsterdã, Pierre Marie
Van-Hiele e Dina Van-Hiele Geodolf através de uma análise de um experimento didático
aferiu a existência de níveis do pensamento geométrico relacionados à aprendizagem de
conceitos. [
2
] abordam em seu trabalho a Teoria do desenvolvimento do pensamento
geométrico do casal Van-Hiele, conforme abordaremos ao longo deste trabalho.
Traduzindo o quadro organizado por Jehin e Chenu (2000) que apresentam os níveis
do pensamento geométrico de Van-Hiele, [
8
] busca descrever esses níveis, conforme
Quadro 1.
Quadro 1: Níveis do pensamento geométrico de Van-Hiele.
Fonte: [8, pp. 4-5].
Essa teoria sugere que a partir de uma sucessão de níveis de compreensão de conceitos
ocorra o avanço do pensamento geométrico do estudante, à medida que ele aprende
120 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.11784 Daniel de S. Caldeira; Fernanda A. F. Silva
geometria [2].
Apresentando cinco níveis hierárquicos, a evolução dos níveis da teoria Vanheliana
do desenvolvimento do pensamento ocorre de forma gradual. Resumindo, todos eles
são pré-requisitos de passagem de um para o outro, isto é, só é considerado no nível 2,
aqueles que têm as atribuições do nível 1 e assim por diante [2].
O planejamento docente amparado em atividades motivadoras que estimulem a
indagação e levem o aluno ao papel de protagonista na aprendizagem, facilita a passagem
de nível do pensamento geométrico proposto por Van-Hiele, de acordo com [
8
]. Dessa
forma, os Materiais didáticos - MDs, podem ser excelentes aliados nesse processo.
Vale salientar que para [
4
, p. 18], “Material didático (MD) é qualquer instrumento
útil ao processo de ensino-aprendizagem”. Destacamos ainda, que abordamos os termos
materiais didáticos, recursos didáticos e matérias didáticos manipulativos como sinônimos,
durante toda construção do texto.
Trazer dinamicidade para aulas de matemática é essencial, porém não devemos utilizar
os MDs apenas com esta finalidade, pois o uso desse recurso nos possibilita ir além disso,
visto que seu objetivo maior é auxiliar o aluno na construção da aprendizagem, de forma
que facilite sua compreensão e não apenas na intenção de “entreter o aluno”. Para [
9
],
o uso dos MDs nas aulas de geometria contribui significativamente na construção de
conceitos iniciais matemáticos, uma vez que oportunizam os alunos a conjecturar, indagar,
apresentar suas observações e levantar hipóteses a partir de questionamentos feitos pelo
docente. E dessa forma são dadas condições para aprimorar seus conhecimentos.
Tendo em vista a utilização do MD, [
4
] apresenta potencialidades que seu uso pode
desenvolver no ensino, apontando diferenças de resultados na aprendizagem quando
o aluno faz o manuseio do MD e quando o professor apenas ilustra situações a partir
dele. Entre as potencialidades mencionadas pelo autor, temos: Identificação do nível de
aprendizagem do aluno, compreendendo quais conceitos precisam ser reforçados; regular
o ritmo de ensino, respeitando o tempo de aprendizagem de cada aluno e possibilitar
com que os alunos sejam capazes de construir suas próprias constatações, observações e
hipóteses; possibilidade de atendimento a diferentes públicos, de variadas idades e níveis
de ensino; e adaptação Nesta perspectiva, apontamos as contribuições que o Origami e
o Tangram podem trazer ao ensino da matemática.
Mesmo surgindo de uma simples folha de papel, O origami pode estimular a partici-
pação e atenção dos estudantes e por meio das manipulações orientadas pelo professor o
aluno poderá assumir o papel de investigador, levantando hipóteses e construindo seu
próprio conhecimento. Baseado na literatura de [
10
] e [
11
], Geometria das dobradu-
ras, compreendemos que o Origami pode aguçar a criatividade dos discentes, além de
proporcionar melhor compreensão de conceitos matemáticos, já que sua manipulação
possibilita a identificação de relações matemáticas envolvidas nesse processo.
O Tangram é um quebra-cabeça geométrico muito antigo, constituído por 7 peças: 5
triângulos (Dois grandes, um médio e dois pequenos), um quadrado e um paralelogramo,
formados a partir de recortes de uma figura com a forma de um quadrado. A partir
do Tangram pode-se representar inúmeras figuras, apenas com a condição de que todas
as peças devem ser usadas, sem sobrepô-las. Assim como o Origami, o Tangram pode
auxiliar na construção de conceitos matemáticos relacionados a geometria plana.
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2 Percurso Metodológico
[
6
] objetivando propor e analisar a abordagem de uma situação de ensino envolvendo
polígonos para o 6º ano do ensino fundamental com uso de recursos didáticos manipulá-
veis, dividiu seu trabalho em duas etapas: a elaboração de uma intervenção didática e a
sua aplicação.
Segundo [
12
, p. 20], “a pesquisa qualitativa considera que há uma relação dinâmica
entre o mundo real e o sujeito, isto é, um vínculo indissociável entre o mundo objetivo e
a subjetividade do sujeito que não pode ser traduzido em números”.
E ainda, de acordo [
12
, p. 21], “a pesquisa descritiva visa descrever as características
de determinada população ou fenômeno ou o estabelecimento de relações entre variáveis.
Envolve o uso de técnicas padronizadas de coleta de dados: questionário e observação
sistemática. Assume, em geral, a forma de levantamento”.
Portanto, a pesquisa do presente estudo, é considerada de abordagem qualitativa por
buscar coletar dados não mensuráveis, e também descritiva por descrever características
dos sujeitos da pesquisa e resultados.
Segundo [
13
, p. 67], “A pesquisa de campo é o tipo de pesquisa que pretende buscar
a informação diretamente com a população pesquisada. Ela exige do pesquisador um
encontro mais direto. Nesse caso, o pesquisador precisa ir ao espaço onde o fenômeno
ocorre, ou ocorreu e reunir um conjunto de informações a serem documentadas [...].”
Nesse sentido, esta pesquisa também se enquadra como pesquisa de campo, já que
buscamos analisar os efeitos provocados por uma situação de ensino diretamente com o
público alvo em que a temática trabalhada é abordada.
Na primeira etapa [
6
], elaborou uma situação de ensino envolvendo cinco atividades
que tinham como objetivo, nas três primeiras, a construção de conceitos geométricos
relacionados aos polígonos: triângulo, quadrado e paralelogramo fazendo uso do Origami.
Para a construção desses polígonos foi tomado por base [
11
]. E nas duas últimas
atividades, objetivaram identificar elementos geométricos dos polígonos presentes no
Tangram quadrado de sete peças, tendo sido uma atividade adaptada de [14].
A partir de instruções e ilustrações de dobraduras nas atribuições sugeridas para a
construção dos polígonos solicitados, foi proposto questionamentos que provocassem
nos alunos reflexões e investigações acerca das definições, características e propriedades
dos polígonos abordados, a fim de que pudessem construir os conceitos relativos a estes.
Devido a delimitação de páginas para produção do artigo apresentaremos a seguir apenas
duas das atividades aplicadas (Atividade I - Construção do quadrado e Atividade II -
Construção do triângulo).
Na atividade I, foram apresentadas orientações para a construção de um quadrado
na folha sulfite A4 por meio de dobraduras. Logo após a construção do quadrado
propôs-se 7 questões que abordaram os conceitos de lados, vértices, ângulos, diagonais,
perpendicularismo, paralelismo e características específicas do quadrado envolvendo a
quantidade e relações entre lados e ângulos, conforme o Quadro 2.
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Quadro 2: Atividade I - Construção do quadrado.
Fonte: [6, pp. 36-37].
Enquanto que na atividade II, usando a mesma metodologia da atividade I sugerimos
a construção do triângulo isósceles retângulo. Contando com 4 questões, idealizamos
trabalhar os elementos lados, vértices e ângulos, como também, características específicas
do triângulo em questão, em conformidade com o Quadro 3.
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Quadro 3: Atividade II - Construção do triângulo.
Fonte: [6, p. 37].
Na segunda etapa que correspondeu à aplicação da situação didática [
6
] teve como
sujeitos de pesquisa alunos do 6° ano de uma escola da rede municipal de educação
infantil e fundamental localizada na comunidade rural do sítio Braga, município de
Monte Horebe-PB. A turma mencionada é formada por 17 alunos de faixa etária entre
11-12 anos, que são residentes da comunidade local e comunidades adjacentes. Com o
ensino dos anos finais do ensino fundamental implantada há pouco mais de três anos,
a escola mencionada atende os seguintes públicos: ensino infantil, anos iniciais, anos
finais do ensino fundamental e EJA (Educação de Jovens e Adultos), cujos turnos de
funcionamento são manhã, tarde e noite, respectivamente.
Na função de professor titular da turma e pesquisador, com o intuito de alcançar
o objetivo almejado, [
6
] aplicou a situação didática proposta em 15 horas aula (600
minutos) distribuídas nas terças feiras com 3 aulas e nas quartas feiras com 2 aulas,
levando um total de 3 semanas.
Dividido em três grupos (Dois grupos de 6 e um de 5 alunos) denominados grupo 1,
grupo 2 e grupo 3, as atividades foram entregues respeitando o tempo de cada equipe
no desenvolvimento dos registros de suas observações a partir dos questionamentos
realizados. Os dados coletados dos 3 grupos formados, juntamente com o diário de
bordo foram usados para a análise dos resultados alcançados, que são apresentados em
nossa análise.
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Para a aplicação das atividades I, II e III, [
6
] contou com 6 horas aula (240 minutos).
Nesta aplicação, foi sugerido que todos os grupos discutissem suas observações e “desco-
bertas” entre si, anotando todas as conclusões realizadas. Mantida as equipes iniciais
para aplicação das atividades IV e V utilizamos 9 horas aulas (360 minutos), visto que
ao término de cada atividade proposta, todos os grupos socializaram suas conclusões,
abrindo espaço para o diálogo, discussão de pontos de vista e trocas de ideias.
3 Resultados da Pesquisa
A aplicação da intervenção de ensino elaborada foi a segunda etapa de nossa pesquisa,
composta por cinco atividades, sendo as quatros primeiras de construção do quadrado,
triângulo, paralelogramo e do Tangram a partir do origami, respectivamente, e a última
atividade de composição de figuras geométricas. Devido a delimitação de páginas para
produção do artigo apresentaremos a seguir as análises de apenas duas das atividades
aplicadas (Construção do quadrado e do triângulo) de acordo com os resultados obtidos
pelos três grupos formados para aplicação da situação de ensino.
3.1 Análise da Atividade de Construção do Quadrado
Caldeira [
6
] propõe nesta atividade a construção do quadrado por meio de dobraduras
em uma folha de papel A4, realizando sete questionamentos a partir do polígono que
foi construído, onde todos os alunos conseguiram construir o polígono a partir das
instruções dadas.
No item 1 que questiona a figura geométrica formada e como os alunos concluem
isso, observou-se que o grupo 1 afirmou que foi formado um quadrado, pois tem quatro
pontas, conforme Figura 1.
Fig. 1. Resposta da atividade 1 do Grupo 1.
Fonte: [6, p. 43].
Como podemos observar, a resposta do grupo 1 relaciona o quadrado ao número de
pontas (4) que a figura possui, sem que sejam observadas propriedades como os lados
congruentes ou ângulos retos.
Enquanto que os grupos 2 e 3 mencionaram outras figuras construídas, como o
retângulo (grupos 2 e 3), e o triângulo (grupo 2), conforme Figura 2.
Fig. 2. Resposta da atividade 1 do Grupo 2.
Fonte: [6, p. 43].
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Devido à aparição do triângulo e do retângulo nas dobraduras orientadas para se
chegar à proposta sugerida (Construção do quadrado) justifica-se a resposta dos grupos
2 e 3, que também se prenderam à imagem de um quadrado sem atentar às suas
características.
Nesse sentido, relacionando as observações realizadas pelos alunos com a Teoria
Vanhieliana, observa-se que todos os grupos atuaram no nível 1 de pensamento geométrico
quanto ao quadrado, visto que estão presos à visualização da forma da figura, sem que
haja algum rigor matemático de reconhecimento das características geométricas que o
quadrado apresenta. Esse resultado se compara ao de [
2
] em um teste aplicado com
alunos do 6° ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública de Recife-PE, em
que visava a construção e classificação dos quadriláteros. Seus resultados demonstraram
que esses alunos se encontravam no nível 1 da Teoria de Van-Hiele quanto a figura
geométrica quadrado.
Questionados sobre as relações existentes entre os lados da figura construída (Qua-
drado) no item 1.1, esperava-se que fossem observados a congruência existente entre os
lados do quadrado, a partir das transferências de medidas realizadas nas dobraduras
sugeridas, o que foi verificado por todos os grupos, de acordo com a Figura 3.
Fig. 3. Respostas da questão 1.1 da atividade 1, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 44].
Por conseguirem constatar por meio de dobraduras a congruência entre os lados do
quadrado e suas propriedades, apresentando segurança para tais afirmações, de acordo
com a teoria de Van-Hiele, compreendemos que os discentes dos grupos 1 e 3 atuaram
no segundo nível Vanhieliano, visto que estabeleceram uma propriedade essencial do
conceito de quadrado. Enquanto que o grupo 2, apesar de afirmarem que os lados são
iguais não conseguiram demonstrar esta afirmação por meio de dobraduras, observando-
a com uma visão desprovida de seus componentes e propriedades. A falta de rigor
matemático para esta situação, conforme a Teoria de Van-Hiele, classifica a atuação
deste grupo no seu primeiro nível, não alcançando os resultados dos demais grupos neste
item investigado.
Para tanto, mais uma vez os resultados encontrados comparam-se ao de [
2
], visto que
alguns alunos não conseguiram identificar as propriedades relacionadas aos lados do
quadrado em sua análise, assim como ocorre na situação descrita por [6].
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No item 1.2 foi proposto que identificassem a quantidade de lados, vértices e ângulos
internos que o polígono construído apresentava. Nesse quesito, o grupo 1 identificou
apenas a quantidade de lados e vértices, não mencionando os ângulos. Enquanto que os
grupos 2 e 3 foram assertivos em suas conclusões, quantificando corretamente todas as
informações solicitadas na questão, conforme a Figura 4.
Fig. 4. Respostas da questão 1.2 da atividade 1, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 45].
Para se referir aos vértices, o grupo 1 utiliza a definição, como sendo, ‘Os encontros
dos lados’, alegando que o quadrado possui a mesma quantidade de vértices e lados, 4 e
4 respectivamente. Enquanto que os outros grupos foram diretos em suas conclusões.
Para [
2
], quando o aluno é capaz de evidenciar elementos constituintes do objeto
geométrico, este encontra-se no segundo nível de Van-Hiele, o que acontece com os
grupos 2 e 3 para este item, quantificando corretamente o número de lados, vértices e
ângulos do quadrado, além de identifica-los durante as dobraduras realizadas, o que
se verifica facilmente que não ocorre com o grupo 1, isto é não avançando nos níveis
de desenvolvimento do pensamento geométrico para este tópico. Ainda vale ressaltar,
que mesmo o grupo 2 e 3 sendo diretos em suas conclusões, durante a realização da
atividade e observando as anotações do diário de bordo, demonstraram segurança em
suas conclusões e conhecimento sobre os questionamentos realizados.
Indagados sobre quais observações poderiam serem feitas sobre os ângulos internos do
quadrado e como chegaram a tal conclusão na questão 2, ocorreu uma divergência de
respostas entre o grupo 1 e os grupos 2 e 3. Esperava-se que os discentes percebessem a
existência dos ângulos retos, o que não acontece com o grupo 1, onde sugeriram que
cada ângulo media 1440
◦
graus, não justificando o motivo pelo qual chegaram a essa
afirmação, conforme a Figura 5.
Fig. 5. Respostas da questão 2 da atividade 1, do Grupo 1.
Fonte: [6, p. 46].
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Desse modo, analisamos que este grupo ainda não construiu o conceito de ângulos,
visto que no item 1.2 que também se tratava de ângulos não responderam à questão
conforme solicitada, o que de acordo com [
8
] por o grupo não apresentar os componentes
que formam o objeto geométrico, este se enquadra no primeiro nível da teoria de
Van-Hiele.
Os grupos 2 e 3 afirmaram que cada ângulo do quadrado tem medida de 90° graus,
argumentando que a abertura entre os lados consecutivos apresenta a forma da letra L,
de acordo com a Figura 6.
Fig. 6. Respostas da questão 2 da atividade 1, do Grupo 3.
Fonte: [6, p. 46].
Na tentativa de justificar que o encontro entre os lados consecutivos do quadrado nos
lembra a forma da letra L, o grupo 3 usou os termos “lados”, “vértices” e “diagonais”
para concluir tal afirmação. O que mais uma vez, de acordo com [
8
] faz dos grupos 2 e
3 atuarem no segundo nível de Van-Hiele.
Esperando-se na questão 2 que todos compreendessem que a abertura entre os lados
consecutivos do quadrado forma ângulos de 90° graus, o item 2.1 questiona qual nome
esses lados recebem, outra vez houve divergência de respostas entre o grupo 1 e os
grupos 2 e 3, observe a Figura 7.
Fig. 7. Respostas da questão 2.1 da atividade 1, do Grupo 1.
Fonte: [6, p. 46].
Mesmo apoiados em uma sugestão de leitura presente no livro didático que aborda
o conteúdo trabalhado, o grupo 1 afirmou que esses lados poderiam ser chamados de
polígonos, o que indica que não houve uma compreensão do questionamento realizado.
Já os outros grupos foram precisos em suas respostas, como podemos observar na Figura
8.
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Fig. 8. Respostas da questão 2.1 da atividade 1, dos Grupos 2 e 3.
Fonte: [6, p. 47].
Observamos que o material sugerido para leitura juntamente com as conclusões
realizadas nas questões anteriores foi primordial para que os grupos pudessem responder
coerentemente o item 2.1, que claramente é o caso dos grupos 2 e 3, o que não aconteceu
com o grupo 1.
Analisamos que de acordo com [
8
], o grupo 1 atuou no primeiro nível Vanheliano,
visto que suas descrições para este questionamento refletem experiências puramente
visuais, não conseguindo utilizar termos técnicos sobre suas conclusões relacionadas
aos lados da forma geométrica em questão. Enquanto que os grupos 2 e 3, a partir do
processo de observação e experimentação informaram de forma precisa suas conclusões,
o que segundo [2], configura sua atuação no segundo nível.
Na questão 3, a indagação foi sobre os lados que não se tocam, solicitando dos alunos
que os identificassem e dissessem como se chamavam. Observamos que o grupo 1 fez
apenas a identificação desses lados, chamando-os de lados opostos, já o grupo 2, não os
identificou, porém, justificou que esses lados podem ser chamados de paralelos, enquanto
que o grupo 3 trouxe as duas informações, como podemos acompanhar na Figura 9.
Fig. 9. Respostas da questão 3 da atividade 1, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 47].
Mais uma vez o material sugerido para leitura foi essencial para a conclusão das
respostas da questão 3 pelos grupos. A discrepância nas respostas informadas pelos
Daniel de S. Caldeira; Fernanda A. F. Silva INTERMATHS, 4(1), 118–134, Junho 2023 | 129
discentes nos mostram os diferentes níveis de atuação que estes grupos se encontram,
os grupos 1 e 3 por exemplo, ainda situam-se no nivel 1 de Van-Hiele, pois é nítido
sua “prisão” ao visual e a ausência dos vocábulos geométricos, o que de acordo com
[
8
] os caracteriza neste cenário, ainda sob esta visão percebemos que apenas o grupo
3 alcançou o segundo nível Vanhieliano, uma vez que conseguiram apresentar relações
entre propriedades e a figura.
Dessa vez na questão 4, identificando uma das diagonais do quadrado foi questionado
o que poderia ser afirmado sobre ela e se havia a existência de outra, observamos que
todos os grupos compreenderam a proposta da questão, conforme a Figura 10.
Fig. 10. Respostas da questão 4 da atividade 1, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 48].
Para justificar que a diagonal do quadrado vai de um vértice ao outro não consecutivo,
o grupo 1 tenta explicar que unindo esses vértices, os lados se encontram formando
um vinco justamente na diagonal do quadrado, afirmando também que existem duas
diagonais. Já o grupo 2 afirma que a diagonal vai de um vértice ao outro e que divide
o quadrado em duas partes iguais, porém não respondeu sobre a existência ou não de
mais diagonais. O grupo 3, além de fazer a mesma afirmação do grupo 2, afirmou que o
polígono apresentado possuía outra diagonal. Neste item, de acordo com os critérios
estabelecidos por Van-Hiele apresentados por [
8
], todos os grupos atuaram no segundo
nível do pensamento geométrico, visto que a partir da observação e experimentação
atenderam as expectativas de solução, trazendo conceitos essenciais do quadrado.
3.2 Análise da Atividade de Construção do Triângulo
Para essa atividade propomos a construção do triângulo isósceles retângulo por meio
de dobraduras em uma folha de papel A4 e foram realizados quatro questionamentos a
partir do polígono que foi construído. Todos os alunos conseguiram construir o polígono
a partir das instruções dadas.
No item 1 que questiona a figura geométrica formada e quantos lados, vértices e
ângulos internos ela possui, todos os grupos afirmaram que foi formado um triângulo e
que ele apresentava 3 lados, 3 ângulos internos e 3 vértices, como podemos observar na
Figura 11.
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Fig. 11. Respostas da questão 1 da atividade 2, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 49].
Esses dados mostram que após a discussão da atividade 1 e aplicação da atividade 2,
todos os grupos conseguiram quantificar corretamente os elementos do polígono traba-
lhado (Lados, vértices e ângulos internos). Por serem capazes de apontar características
da figura geométrica em questão corretamente, segundo [
2
], observamos que para esse
item investigado todos os grupos alcançaram o nível 2 de Van-Hiele.
Questionados no item 2, sobre o que é possível observar em relação aos lados do
triângulo construído e como foi feita essa conclusão, os grupos 1 e 2 afirmam que dois de
seus lados são congruentes. Para justificar que ao transferir a medida de um lado para
o outro observa-se a congruência entre os lados, o grupo 1 e 3 alegam que ao dobrar
a folha verifica-se que os lados apresentam as mesmas medidas. Já o grupo 2 relatou
que dois lados do triângulo são iguais, mas que realizou esta conclusão apenas de forma
visual, conforme a Figura 12.
Fig. 12. Respostas da questão 2 da atividade 2, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 50].
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Apesar do grupo 2 não conseguir demonstrar através de dobraduras a congruência
entre os dois lados do triângulo, observaram que dois de seus lados eram os mesmos que
formavam o quadrado levando-os a esta conclusão. De acordo com estas informações
e em [
2
], os grupos 1 e 3 por perceberem a congruência existente, demonstrando tal
afirmação a partir de dobraduras, atuaram no segundo nível Vanhieliano, enquanto que
o grupo 2, por se prenderem apenas ao visual da forma geométrica, como os próprios
relataram, não o alcançou.
Na questão 3, ao serem indagados sobre a existência de lados perpendiculares na
figura construída e o porquê, o grupo 1 admite sua existência, porém para argumentar
sua justificativa apenas identificou de modo superficial onde se encontrava esses lados
perpendiculares, sem detalhar como chegou e o que levou a esse resultado. Já os grupos
2 e 3 foram além, afirmando que havia lados perpendiculares no polígono formado,
explicou que devido à lembrança da letra L presente entre dois desses lados faz com que
o polígono apresente um ângulo de 90
◦
graus, assim como podemos observar na Figura
13.
Fig. 13. Respostas da questão 3 da atividade 2, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 51].
Observa-se que a ideia de lados perpendiculares pelos grupos 2 e 3 estão construídas,
enquanto que o grupo 1 demonstra que ainda não conseguiram significar esses conceitos.
Assim sendo, diante do perfil de classificação apresentado por [
8
] sobre os níveis do
desenvolvimento do pensamento geométrico, apenas o grupo 1 não alcançou o nível 2 de
Van-Hiele.
No item 3.1 é solicitado que os alunos descrevam a figura geométrica construída como
se estivessem descrevendo para alguém que não tem acesso a ela. Nesse quesito os três
grupos apontaram a quantidade de lados, vértices e ângulos internos que o polígono
descrito possuía, conforme a Figura 14.
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Fig. 14. Respostas da questão 3.1 da atividade 2, dos Grupos 1,2 e 3.
Fonte: [6, p. 51].
Analisamos que os grupos 1 e 2 ao fazer referência aos vértices da figura geométrica,
usa o termo “pontas” além de citarem que ela possui lados perpendiculares, enquanto que
o grupo 3 menciona que dois de seus lados são congruentes, entretanto todos os grupos
conseguiram fazer suas descrições de forma coerente e compreensível. Dessa forma,
foi possível observar que características e propriedades essenciais da figura geométrica
trabalhada neste item foram enfatizadas, o que de acordo com [
8
], é um dos atributos
mais importantes que caracteriza a atuação no segundo nível do pensamento geométrico,
o que claramente é a realidade de todos os grupos para este questionamento.
Conclusão
Observamos que o uso dos MDs na situação didática proposta e aplicada, proporcionou
momentos de dinamicidade, interação e o desenvolvimento do pensamento geométrico,
quesito essencial na sala de aula de matemática, além de momentos de investigação e de
desenvolvimento da criatividade.
Vale lembrar que a geometria é um dos campos de grande importância da matemática,
visto que está presente em nossas vidas todos os dias e nas mais variadas situações e
ambientes, mesmo muitas vezes passando despercebidas aos nossos olhos. Portanto esse
eixo temático, não deve ser excluído ou deixado em segundo plano no currículo escolar.
Portanto, desejamos que este trabalho possa estimular professores de matemática a
adorarem os MDs no ensino de conteúdos geométricos e de modo geral no ensino da
matemática, pois estes quando usados de maneira adequada tornam o aluno protago-
nista no processo de aprendizagem, fazendo deles responsáveis pela construção de seus
conhecimentos, e do professor, um orientador para guiá-los em suas conclusões.
Entretanto, é importante ressaltar que adotar os MDs nas aulas de matemática não é
sinônimo, muito menos garantia de aprendizado, pois mais importante do que o seu uso
é a forma como ele é abordado em sala de aula. Assim sendo, o professor assume um
papel de extrema relevância nesse contexto, pois à maneira como ele conduz os MDs
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pode ser determinante no sucesso ou fracasso da aprendizagem, reforçando mais uma
vez o quanto o planejamento se deve fazer presente durante todo esse processo.
ORCID
Daniel de Sousa Caldeira https://orcid.org/0000-0002-6105-7751
Fernanda Andrea F. Silva https://orcid.org/0000-0002-2347-2372
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