INTERMATHS, VOL. 4, NO. 1 (2023), 88–102
https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.12235
Artigos Gerais
cb licença creative commons
Sequências e Séries: Padrões Fibonaccianos na Na-
tureza, Quasicristais, Potencial Elétrico e Energia
Média em Sistema Quântico
Sequences and Series: Fibonaccian Patterns in Nature, Quasicrystals, Electric
Potential and Average Energy in Quantum System
Gabriel Costa Vieira Arantes
a
, Clóves Gonçalves Rodrigues
a,∗
a
Pontifícia Universidade Católica de Goiás, Goiânia - GO, Brasil
* Autor Correspondente: cloves@pucgoias.edu.br
Resumo: No presente estudo, são investigadas as sequências e séries numéricas, explorando as suas
aplicações e contribuições em diversos ramos da Física, com destaque para: padrões fibonaccianos da
natureza, sequência de Fibonacci e o número áureo, o número áureo e os padrões espirais das galáxias,
quasicristais e as cadeias de Fibonacci, potencial elétrico para N cargas puntiformes num eixo
Ox
,
fórmula de Planck para a energia média de um sistema quantizado. Prezou-se por um método de
investigação teórica através do emprego dos conceitos de sequências e séries numéricas, demonstrando
resultados fisicamente consistentes com observações experimentais.
Palavras-chave: Fibonacci; Razão áurea; Série harmônica; Série geométrica; Quasicristais.
Abstract: In the present study, numerical sequences and series are investigated, exploring their
applications and contributions in several branches of Physics, with emphasis on: Fibonacci patterns in
nature, Fibonacci sequence and the golden number, the golden number and spiral patterns of galaxies,
quasicrystals and Fibonacci chains, electric potential for N point charges on an
Ox
axis, Planck’s
formula for the average energy of a quantized system. It was valued for a method of theoretical
investigation through the use of the concepts of numerical sequences and series, demonstrating results
physically consistent with experimental observations.
keywords: Fibonacci; Golden ratio; Harmonic series; Geometric series; Quasicrystals.
Classification MSC: 97E10; 97M10
1 Introdução
O conceito que representa a essência da Análise Real é, sem dúvida, a definição de
limite, sendo que o estudo das sequências permite apresentar a noção de limite sob a sua
forma mais simples [
1
]. Além disso, diversos fenômenos físicos são modelados com base
em sequências de números reais. Assim, nota-se a grande importância do tema, seja em
aplicações práticas no campo das engenharias e da física ou no campo da matemática
pura.
Submetido em: 13 março 2023 Aprovado em: 19 junho 2023 Publicado em: 30 junho 2023
ISSN 2675-8318 ©2023 INTERMATHS. Publicado por Edições UESB. Este é um artigo de acesso aberto sob a licença CC BY 4.0.
A noção de série é, possivelmente, uma das mais importantes no que se refere ao
estudo de métodos numéricos em física matemática [
2
]. É claro que as séries numéricas
também constituem um assunto inestimável para o estudo da Análise Real, donde
são enunciados e demonstrados diversos teoremas clássicos, tais como o critério da
comparação, o teorema de Leibniz, o teste de d’Alembert, o teste de Cauchy e o teorema
de Riemann [
3
,
4
]. Alguns exemplos clássicos de séries numéricas com grande relevância
para a física matemática são: a série geométrica, a série harmônica, a série de Maclaurin,
a série de Taylor e a série de Fourier [2].
Assim, existem muitas sequências de grande importância para a Análise que possuem
seu valor para o estudo da Física, valendo destacar a sequência de Fibonacci, a progressão
aritmética, a progressão geométrica e o método de aproximações sucessivas da raiz
quadrada. No presente trabalho, será abordada especialmente a série geométrica e a série
harmônica, apresentando suas respectivas contribuições como ferramentas matemáticas
no estudo dos fenômenos físicos. Na próxima Seção será apresentada a conceituação
de séries e sequência e na Seção 3 serão apresentadas algumas aplicações e exemplos
destas, a saber: a) a sequência de Fibonacci e o número áureo, b) padrões espirais das
galáxias, c) quasicristais, d) potencial elétrico de cargas puntiformes, e e) a fórmula de
Planck para a energia média de um sistema quântico. A Seção 4 se reserva a conclusões
e comentários finais.
2 Sequências e Séries
Uma sequência é uma lista ordenada de números, enquanto que uma série é uma soma
infinita dos termos de uma sequência. As somas parciais de uma série também formam
uma sequência que pode convergir ou divergir [5].
Uma sequência de números reais é uma função
x
:
N → R
que associa, para cada
número natural
n∈ N
, um número real
x
n
∈ R
, denominado
n
-ésimo termo da sequência.
Deste modo, tem-se
x
:
n 7→ x
n
. Representa-se uma sequência cujo
n
-ésimo termo
é
x
n
das seguintes maneiras: (
x
n
)
n∈N
ou (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
). Pode-se considerar que
está implícito o fato de que os índices
n∈ N
de uma sequência de números reais
x
n
∈ R
estão definidos sobre o conjunto dos números naturais, o que nos permite representar
uma sequência cujo
n
-ésimo termo é
x
n
simplesmente por (
x
n
), a fim de simplificar a
notação, sem perda de generalidade [
3
]. Uma sequência (
x
n
) é limitada superiormente
quando existe um número
c∈ R
tal que
x
n
≤ c
para todo
n∈ N
. De forma análoga,
uma sequência (
x
n
) é limitada inferiormente quando existe um número
a∈ R
tal que
x
n
≥ a
para todo
n∈ N
. Por fim, diz-se que uma sequência (
x
n
) é limitada quando
existe um número
k∈ R
tal que |
x
n
| ≤ k
para todo
n∈ N
. É importante notar que, ao
afirmar que uma sequência (
x
n
) é limitada, está sendo afirmado que esta sequência é
limitada superior e inferiormente. Com efeito, se existe
k∈ R
tal que
|x
n
| ≤ k
, então
−k ≤ x
n
≤ k para todo n∈ N.
Pode-se dizer que uma série é a soma de infinitas parcelas. Mais precisamente, toda
série é dada por uma soma do tipo
s
=
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
+
. . .
com
n → ∞
, onde as
parcelas
a
n
, n∈ N
, da soma são os termos de uma sequência
(a
n
)
n∈N
. Portanto, toda série
numérica é definida com base em uma sequência de números reais. Pode-se escrever esta
soma de infinitas parcelas sob a forma de um limite, pondo
s
=
lim
n→∞
(
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
)
Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues INTERMATHS, 4(1), 88–102, Junho 2023 | 89
ou, simplesmente,
s
=
lim
(
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
). Uma série numérica pode ser representada
utilizando a notação de somatório, a fim de simplificar a sua escrita. Deste modo, tem-se
que
s =
∞
X
n=1
a
n
=
X
a
n
,
que é a notação usual para uma série numérica. Além disso, dada uma sequência (
a
n
)
de números reais, pode-se formar a partir dela uma nova sequência (
s
n
) das reduzidas,
ou somas parciais, da série
P
a
n
. Para isso, basta tomar
s
1
=
a
1
,
s
2
=
a
1
+
a
2
,...,
s
n
=
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
e assim por diante. Uma série
s
=
P
a
n
é convergente quando existe
o limite
s
=
lim
(
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
) e é divergente quando não existe
lim
(
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
).
Utilizando a notação das reduzidas, ou somas parciais, a série
P
a
n
converge quando
existe lim s
n
e diverge quando não existe lim s
n
.
Na próxima seção serão apresentadas algumas aplicações e exemplos concretos das
séries e sequências.
3 Exemplos e Aplicações
3.1 Sequência de Fibonacci e o Número Áureo Φ
Uma das sequências mais clássicas da Análise é a sequência de Fibonacci, pensada pelo
matemático Leonardo Fibonacci no final do século XII. Muitos fenômenos da natureza
estão relacionados a esta sequência como, por exemplo, o padrão de crescimento das
conchas de algumas espécies de caracóis [
6
]. A curiosidade por trás deste fato advém da
propriedade de que, tomando quadrados cujos lados crescem de acordo com a sequência
de Fibonacci e dispondo-os de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita,
como a ilustrada na Figura 1. Existem diversos fenômenos físicos relacionados com a
sequência de Fibonacci, como os relacionados a padrões espirais.
Figura 1. Espiral perfeita obtida a partir da sequência de Fibonacci.
Fonte: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?search=Fibonacci&title=Special:MediaSearch&type=image
Seja a sequência (
F
n
) de números reais dada por
F
1
= 1
, F
2
= 1 e
F
n+1
=
F
n
+
F
n−1
para todo
n ≥
2. Definida desta maneira, diz-se que (
F
n
) = (1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
,
21
,
34
,
55
, ...
)
90 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.12235 Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues
é a sequência de Fibonacci [
7
]. Aqui é relevante tratarmos sobre a obtenção do número
áureo denotado pela letra grega Φ, o qual está presente em diversas proporções encontra-
das na natureza. A relação de recorrência
F
n+1
=
F
n
+
F
n−1
,
n ≥
2, pode ser reescrita
na seguinte forma:
F
n
+ 1 − λ .F
n
= (1 − λ) . (F
n
− λ .F
n−1
) + (1 + λ − λ
2
) . F
n−1
,
onde foi introduzido o fator multiplicador
λ∈ R
. Denota-se por
λ
1
e
λ
2
as raízes da
equação de segundo grau 1 +
λ − λ
2
= 0. Tem-se então
λ
1
+
λ
2
= 1. Além disso, valem
as seguintes igualdades:
F
n+1
− λ
1
.F
n
= (1 − λ
1
) . (F
n
− λ
1
.F
n−1
) = λ
2
. (F
n
− λ
1
.F
n−1
)
F
n+1
− λ
2
.F
n
= (1 − λ
2
) . (F
n
− λ
2
.F
n−1
) = λ
1
. (F
n
− λ
2
.F
n−1
)
que podem ser representadas pelas iterações sucessivas da sequência de Fibonacci:
F
n+1
− λ
1
.F
n
= (λ
2
)
n
. (F
2
− λ
1
.F
1
)
F
n+1
− λ
2
.F
n
= (λ
1
)
n
. (F
2
− λ
2
.F
1
)
Subtraindo estas duas últimas expressões membro a membro, tem-se:
F
n+1
(λ
2
− λ
1
).F
n
= (λ
2
)
n
. (F
2
− λ
1
.F
1
) − (λ
1
)
n
.(F
2
− λ
2
.F
1
)
donde λ
1
̸= λ
2
resulta em:
F
n
=
(λ
2
)
n
· (F
2
− λ
1
· F
1
) − (λ
1
)
n
· (F
2
− λ
2
· F
1
)
λ
2
− λ
1
.
Resolvendo a equação do segundo grau dada por 1 +
λ − λ
2
= 0, encontram-se as
raízes:
λ
1
=
1 +
√
5
2
e λ
2
=
1 −
√
5
2
Substituindo as raízes
λ
1
e
λ
2
na expressão geral obtida para
F
n
e lembrando que
F
1
= F
2
= 1 na sequência de Fibonacci, tem-se para todo n ≥ 2:
F
n
=
1
√
5
·
1 +
√
5
2
!
n+1
−
1
√
5
·
1 −
√
5
2
!
n+1
.
Tomando Φ = (1 +
√
5)/2 esta última expressão pode ser reescrita como:
F
n
=
1
√
5
· Φ
n+1
−
1
√
5
· (1 − Φ)
n+1
.
Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues INTERMATHS, 4(1), 88–102, Junho 2023 | 91
O real positivo Φ = (1 +
√
5
)
/
2 é chamado de número áureo. Este número está
presente em diversas razões e proporções encontradas na natureza, desde as espirais
das conchas calcárias dos Nautilus (moluscos cefalópodes), Figura 2, até padrões de
crescimento das plantas e árvores, Figura 3. O número áureo Φ também está presente
em fenômenos da Física, fato que será examinado nas seções 3.2 e 3.3.
Figura 2. Molusco nautilus.
Fonte: https://www.shallowsky.com/blog/science/fibonautilus.html
Figura 3. Crescimento de uma árvore seguindo a sequência de Fibonacci.
Fonte: [8].
92 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.12235 Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues
É importante ressaltar que a sequência (
x
n
) definida por
x
1
= 1 e
x
n
=
F
n
/F
n−1
se
n ≥
2 converge para o número áureo Φ = (1+
√
5
)
/
2 quando
n → ∞
, onde
F
n
é o
n
-ésimo
termo da sequência de Fibonacci. Noutra notação, tem-se
lim x
n
=
lim
(
F
n
/F
n−1
) =
Φ = (1 +
√
5
)
/
2. O leitor interessado pode verificar a validade desta afirmação como
exercício. Basta aplicar a última fórmula de recorrência obtida nesta seção.
3.2 O Número Áureo (Φ) e os Padrões Espirais das Galáxias
Na seção anterior foi verificado que é possível definir uma espiral perfeita a partir da
sequência de Fibonacci, conforme ilustrada na Figura 1. Este fato permite relacionar o
número áureo Φ com diversos fenômenos da natureza que apresentam padrões espirais,
donde merecem destaque as galáxias [
9
]. A espiral na Figura 1 é obtida tomando o
quarto de circunferência inscrito em cada quadrado cujo lado aumenta de acordo com
a sequência de Fibonacci, permutando o vértice que define o centro. Este padrão está
associado com um tipo especial de curva geométrica, chamada de espiral logarítmica.
Ela também pode ser obtida considerando
n
retas concorrentes num ponto de origem.
Então, começando da reta
n
= 1, define-se um raio qualquer sobre ela, e traçando um
segmento perpendicular que conecta a extremidade deste raio à reta
n
= 2. Assim,
forma-se um novo raio sobre a reta
n
= 2, menor que o primeiro. Prosseguindo com
este raciocínio indutivamente e fazendo
n → ∞
, obtém-se a espiral logarítmica. Uma
propriedade muito peculiar das espirais logarítmicas é que o ângulo formado entre as
retas concorrentes e as retas tangentes nos respectivos pontos de interseção com a curva
é constante.
Em coordenadas polares, a espiral logarítmica é a curva dada pela equação
r
=
a ·e
bθ
,
onde
e
é o número de Euler,
a
e
b
são constantes arbitrárias,
θ
é a inclinação das retas
concorrentes com relação ao eixo
Ox
das abscissas e
r
é a distância da curva até a
origem num dado instante, ou seja, o raio definido sobre cada reta concorrente. Diversas
galáxias podem ser modeladas matematicamente como espirais logarítmicas, a saber, a
nossa galáxia a Via Láctea, a Galáxia do Cata-Vento (NGC 5457 ou M101) e a Galáxia
de Andrômeda (NGC 224 ou M31), como ilustrado na Figura 4.
Figura 4. Galáxia Espiral de Andrômeda vista pelo Galaxy Evolution Explorer.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Gal%C3%A1xia_de_Andr%C3%B4meda#/media/Ficheiro:Andromeda-
_galaxy_2.jpg.
Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues INTERMATHS, 4(1), 88–102, Junho 2023 | 93
Por sua vez, sabe-se que as espirais logarítmicas podem ser descritas em termos da
sequência de Fibonacci, de acordo com a Figura 1. Isto nos permite vislumbrar um
padrão fibonacciano intrínseco à natureza espiral destas galáxias. De algum modo, o
raio variável dos seus braços espirais está relacionado, ao mesmo tempo, com a equação
polar
r
=
a · e
bθ
que descreve a espiral logarítmica e com a sequência de Fibonacci
(
F
n
) cujo termo geral é definido em função do número áureo Φ = (1 +
√
5
)
/
2. Sabe-se
que a sequência (
x
n
) definida por
x
1
= 1 e
x
n
=
F
n
/F
n−1
se
n ≥
2 converge para
o número áureo Φ = (1 +
√
5
)
/
2 quando
n → ∞
, onde
F
n
é o
n
-ésimo termo da
sequência de Fibonacci. Considerando a sequência dos raios consecutivos descritos
pelos braços espirais das galáxias com relação à origem para uma variação uniforme ∆
θ
pré-fixada, de acordo com a equação polar
r
=
a · e
bθ
que define a espiral logarítmica,
a razão
r
n
/r
n+1
certamente convergirá para o número áureo Φ = (1 +
√
5
)
/
2, pois,
pelo padrão fibonacciano, existe uma relação biunívoca entre os termos das sequências
(
x
n
) e (
r
n
/r
n+1
) para todo
n∈ N
, isto é, uma bijeção. Para isto, é necessário definir
devidamente a variação uniforme ∆
θ
=
θ
n+1
− θ
n
que resultará no padrão fibonacciano
desejado entre os raios consecutivos
r
n+1
e
r
n
descritos pelos braços espirais das galáxias,
analogamente ao que acontece com os quartos de circunferência que descrevem a espiral
de Fibonacci na Figura 1.
3.3 Sólidos Cristalinos, Quasicristais e as Cadeias de Fibonacci
Os sólidos cristalinos apresentam padrões geométricos periódicos em virtude das
células unitárias. Estas, por sua vez, caracterizam a morfologia ao nível atômico e
molecular que definem a forma geométrica do cristal macroscópico [
10
]. Dentre os tipos
mais comuns de sólidos cristalinos, merecem destaque os cristais octaédricos, rômbicos
e ortorrômbicos. Em 1982, o físico israelense Daniel Shechtman, professor titular e
pesquisador no Instituto Israelita de Tecnologia, através dos seus estudos com ligas
metálicas de alumínio e magnésio, descobriu os quasicristais, feito que lhe rendeu o
Prêmio Nobel de Química de 2011 [11]. A importância da descoberta dos quasicristais
está no fato de que estes sólidos, aparentemente cristalinos, não possuem uma estrutura
periódica, apesar de exibirem espectro de difração essencialmente discreto, assim como
os cristais clássicos [12].
Existem versões unidimensionais dos quasicristais cujas estruturas microscópicas
exibem um padrão de ordenação, apesar de não possuírem simetrias de rotação nem
periodicidade. Neste grupo, merecem destaque os quasicristais formados pelas cadeias
de Fibonacci. Trata-se de uma sequência colinear e infinita de átomos formada por dois
tipos de elementos químicos, denominados por
A
e
B
. Portanto, origina-se uma cadeia
atômica unidimensional. O padrão de ordenação exibido por este grupo de quasicristais
está justamente relacionado com a sequência de Fibonacci. Seja
S
n
a
n
-ésima etapa da
cadeia atômica de Fibonacci formada pelos elementos
A
e
B
nos quasicristais lineares.
Define-se a partir daí:
S
1
= B,
S
2
= A ,
S
3
= AB,
94 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.12235 Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues
S
4
= ABA,
S
5
= ABAAB,
S
6
= ABAABABA,
S
7
= ABAABABAABAAB, ...
de tal modo que vale a relação
S
n+1
= (S
n
)(S
n−1
) para todo n ≥ 2 .
A quinta etapa, por exemplo, é dada por
S
5
= (S
4
)(S
3
) = (ABA)(AB) = ABAAB,
e a sexta etapa por
S
6
= (S
5
)(S
4
) = (ABAAB)(ABA) = ABAABABA.
É importante ressaltar que a sequência de átomos formada pelas cadeias de Fibonacci
não é periódica e nem simétrica. Ela apenas define a existência de uma ordem na
estrutura dos quasicristais pertencentes a este grupo. De fato, para cada etapa
S
n
da cadeia atômica, o número de átomos dos elementos
A
e
B
corresponde ao
n
-ésimo
termo da sequência de Fibonacci. Deste modo, existe uma bijeção
S
n
7→ F
n
para todo
n∈ N
. Novamente, tem-se a sequência (
x
n
) definida por
x
1
= 1 e
x
n
=
F
n
/F
n−1
se
n ≥
2. Sabe-se que (
x
n
) converge para o número áureo Φ = (1 +
√
5
)
/
2 quando
n → ∞
.
Portanto, a razão entre o número total de átomos dos elementos
A
e
B
para duas cadeias
de Fibonacci consecutivas
S
n
e
S
n+1
na estrutura unidimensional do quasicristal também
converge para o número áureo Φ = (1 +
√
5)/2 à medida que n → ∞.
Uma interessante pesquisa na área de dinâmica de rede, em que o conceito da cadeia
de Fibonacci é utilizado, consiste no estudo de propriedades estruturais e dinâmicas em
um sistema (modelo unidimensional) em que dois tipos de átomos (
A
e
B
) alternam de
posição entre si em uma sequência de Fibonacci, Figura 5. Neste estudo foram calculadas
e analisadas a influência da anarmonicidade das vibrações atômicas nas propriedades
dessa cadeia de Fibonacci [13].
Figura 5. Cadeia de Fibonacci consistindo de um átomo A e um átomo B menor que A.
Fonte: os autores.
Observa-se que os quasicristais bidimensionais mais importantes podem ser represen-
tados pelos ladrilhos de Penrose, outro padrão geométrico presente na natureza que,
a princípio, pode parecer abstrato [
14
]. Este nome é uma homenagem ao físico inglês
Roger Penrose, em virtude dos seus estudos e contribuições para o campo da física
matemática.
Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues INTERMATHS, 4(1), 88–102, Junho 2023 | 95
3.4 Potencial Elétrico para N Cargas Puntiformes num Eixo Ox
Seja o problema unidimensional de
N
cargas elétricas puntiformes idênticas colineares,
localizadas no eixo
Ox
e distribuídas de forma equidistante duas a duas. Então, pela
definição do potencial elétrico [15], tem-se:
V (x) = V
1
+ V
2
+ . . . + V
N
+ . . .
V (x) =
1
4πε
0
·
q
1
x
1
+
1
4πε
0
·
q
2
x
2
+ . . . +
1
4πε
0
·
q
N
x
N
+ . . .
∴ V (x) =
N
X
k=1
1
4πε
0
·
q
k
x
k
,
sendo que as condições de contorno admitidas implicam em
x
k+1
=
x
k
+ ∆
x
e
q
k
=
q
para todo k = 1, 2, . . . , N, . . ., ou seja, tem-se:
x
2
= x
1
+ ∆x,
x
3
= x
2
+ ∆x = x
1
+ 2.∆x, . . . ,
x
k+1
= x
1
+ k.∆x
q
1
= q
2
= ··· = q
N
= ··· = q para todo k = 1, 2, ..., N, ...
Tomando x
1
= x, tem-se:
x
2
= x + ∆x,
x
3
= x
2
+ ∆x = x + 2.∆x, ...,
x
k+1
= x + k.∆x
q
1
= q
2
= ··· = q
N
= ··· = q para todo k = 1, 2, ..., N, . . .
isto é, tem-se as condições de contorno
x
k+1
=
x
+
k.
∆
x
e
q
k
=
q
para todo
k
=
1, 2, ··· , N, ···.
Por conveniência, o somatório que define o potencial elétrico
V
(
x
) pode ser reescrito
da seguinte maneira:
V (x) − V
1
=
N
X
k=1
1
4πε
0
·
q
k+1
x
k+1
.
96 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.12235 Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues
Então, aplicando as condições de contorno estabelecidas para o problema, chega-se
em:
V (x) − V
1
=
N
X
k=1
1
4πε
0
·
q
x + k∆x
.
Considerando o potencial elétrico resultante na origem do eixo
Ox
tem-se
x
= 0.
Deve-se lembrar que foi tomado
x
1
=
x
na definição matemática das condições de
contorno do problema. Por conseguinte, a carga
q
1
está localizada exatamente na origem
do eixo
Ox
. Logo, a sua contribuição para o potencial elétrico resultante na origem é
V
1
= 0. Portanto
V (0) =
N
X
k=1
1
4πε
0
·
q
k∆x
=
1
4πε
0
·
q
∆x
×
N
X
k=1
1
k
.
Obteve-se, deste modo, o somatório que define o potencial elétrico resultante na
origem do eixo
Ox
para o problema de
N
cargas puntiformes idênticas, colineares e
equidistantes entre si duas a duas, onde se definiu a posição da carga
q
1
na origem. Se
for considerado o caso em que N é finito, então o potencial elétrico
V (0) =
1
4πε
0
·
q
∆x
×
N
X
k=1
1
k
converge, resultando em:
V (0) =
1
4πε
0
·
q
∆x
×
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
N
.
Se, por outro lado, for considerado o caso em que
N → ∞
, então o potencial elétrico
na origem do eixo Ox (x = 0) para infinitas cargas puntiformes
V (0) =
1
4πε
0
·
q
∆x
×
∞
X
k=1
1
k
é divergente nas condições de contorno admitidas no início do problema. Isto se deve ao
fato de que a série harmônica
P
∞
k=1
(1/k) diverge.
Também é interessante analisar o potencial elétrico resultante na origem do eixo
Ox
para o problema de
N
cargas puntiformes iguais em módulo, porém com sinais
matemáticos alternados. Com isso, tem-se
q
k
=
q
se
k
for ímpar e
q
k
=
−q
se
k
for
par. De modo equivalente, pode-se escrever
q
2n−1
=
q
e
q
2n
=
−q
para todo
n∈ N
.
Considerando novamente a condição de contorno inicial
x
k+1
=
x
+
k.
∆
x
para todo
k = 1, 2, ··· , N, ··· onde foi tomado x
1
= x, tem-se:
V (x) =
N
X
k=1
(−1)
k+1
4πε
0
·
q
k
x
k
V (x) − V
1
=
N
X
k=1
(−1)
k
4πε
0
·
q
k+1
x
k+1
Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues INTERMATHS, 4(1), 88–102, Junho 2023 | 97
∴ V (x) − V
1
=
N
X
k=1
(−1)
k
4πε
0
·
q
x + k · ∆x
.
Pelas mesmas razões já discutidas, pode-se dizer que o somatório
V (0) =
N
X
k=1
(−1)
k
4πε
0
·
q
k∆x
=
1
4πε
0
·
q
∆x
×
N
X
k=1
(−1)
k
k
define o potencial elétrico resultante na origem do eixo
Ox
(
x
= 0) para o problema
analisado. Então, fazendo N → ∞, chega-se a:
V (0) =
1
4πε
0
·
q
∆x
×
∞
X
k=1
(−1)
k
k
.
Foi provado que o potencial
V
(0) diverge quando
N → ∞
se consideradas
N
cargas
puntiformes idênticas, em virtude da divergência da série harmônica. Entretanto, no caso
de
N
cargas puntiformes iguais em módulo, porém com sinais matemáticos alternados,
pode-se notar que a expressão do potencial resultante
V
(0) está relacionada com a série
alternada
P
∞
k=1
(−1)
k
.(1/k) quando N → ∞. Pondo k = n + 1, tem-se:
∞
X
k=1
(−1)
k
k
=
∞
X
k=1
(−1)
k
·
1
k
=
∞
X
n=0
(−1)
n+1
·
1
n + 1
.
Além disso, vale:
∞
X
n=0
(−1)
n+1
·
1
n + 1
= −1 +
∞
X
n=1
(−1)
n+1
·
1
n + 1
.
Tomando
a
n
= 1
/
(
n
+1), segue do Teorema de Leibniz [3,4] que a série
P
∞
n=1
(−1)
n+1
.a
n
converge, pois
lim
(
a
n
) =
lim
[1
/
(
n
+ 1)] = 0, ou seja, a sequência monótona decrescente
(a
n
) tende para zero. Como resultado, a série alternada
∞
X
k=1
(−1)
k
k
=
∞
X
k=1
(−1)
k
·
1
k
= −1 +
∞
X
n=1
(−1)
n+1
·
1
n + 1
também converge. Isto significa que o potencial elétrico resultante na origem do eixo
Ox
(
x
= 0) para o problema de
N
cargas puntiformes iguais em módulo com sinais
matemáticos alternados, definido pelo somatório
V (0) =
N
X
k=1
(−1)
k
4πε
0
·
q
k∆x
=
1
4πε
0
·
q
∆x
×
N
X
k=1
(−1)
k
k
é convergente quando
N → ∞
, nas condições de contorno admitidas. A totalidade da
análise realizada nesta seção pode ser resumida em: 1)
V
(0) diverge quando
N → ∞
se
as
N
cargas puntiformes forem idênticas, e 2)
V
(0) converge quando
N → ∞
se as
N
cargas puntiformes forem iguais em módulo, porém distintas duas a duas com relação
ao sinal matemático, alternadamente.
98 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.12235 Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues
3.5 Fórmula de Planck para a Energia Média de um Sistema Quântico
Considere a função de distribuição de Boltzmann [
16
] para uma variável contínua
X
arbitrária, onde X é o seu valor médio:
X =
R
∞
0
X.P (X) dX
R
∞
0
P (X) dX
.
No ano 1900, o físico alemão Max Planck introduziu seu postulado da quantização
da energia, a fim de resolver os mistérios por trás do espectro de emissão da radiação
do corpo negro, um problema físico que estava em aberto desde 1860, quando Gustav
Kirchhoff iniciou os estudos sobre o tema [
17
]. O postulado de Planck diz que a energia
dos sistemas quânticos (
ε
) deve ser quantizada, sendo múltipla de um número natural
n∈ N:
ε = nhν ,
o que significa que a variável
ε
para os sistemas quânticos é discreta, de acordo com o
postulado de Planck. A função de distribuição de Boltzmann para a variável discreta
ε
é análoga à do caso contínuo bastando escrever no lugar das integrais, os somatórios:
ε =
P
∞
n=0
ε .P (ε)
P
∞
n=0
P (ε)
,
onde
ε
é a energia média do sistema quântico. A fim de prosseguir, devemos introduzir
a forma especial da distribuição de Boltzmann, que é dada pela seguinte expressão [
18
]:
P (ε) =
exp(−ε/kT )
kT
com
T
a temperatura do sistema e
k
a constante de Boltzmann. Substituindo a forma
especial da distribuição de Boltzmann e o postulado de Planck na função de distribuição
de Boltzmann para a variável discreta ε, tem-se:
ε =
P
∞
n=0
nhν(kT )
−1
exp(−nhν/kT )
P
∞
n=0
(kT )
−1
exp(−nhν/kT )
.
Definindo β = hν/kT , a expressão anterior fica:
ε =
P
∞
n=0
nβ exp(−nβ)
P
∞
n=0
(kT )
−1
exp(−nβ)
=
P
∞
n=0
nβ exp(−nβ)
(kT )
−1
P
∞
n=0
exp(−nβ)
= (kT )
"
P
∞
n=0
nβ exp(−nβ)
P
∞
n=0
exp(−nβ)
#
.
Seja a derivada:
D =
d
dβ
"
ln
∞
X
n=0
exp(−nβ)
!#
.
Temos que,
D =
d
dβ
P
∞
n=0
exp (−nβ)
P
∞
n=0
exp (−nβ)
=
P
∞
n=0
d
dβ
exp (−nβ)
P
∞
n=0
exp (−nβ)
=
P
∞
n=0
(−n) × exp (−nβ)
P
∞
n=0
exp (−nβ)
.
Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues INTERMATHS, 4(1), 88–102, Junho 2023 | 99
Multiplicando por −β tem-se:
−βD = −β
"
P
∞
n=0
(−n) × exp(−nβ)
P
∞
n=0
exp(−nβ)
#
=
P
∞
n=0
(−n) × (−β) × exp(−nβ)
P
∞
n=0
exp(−nβ)
∴ −βD =
P
∞
n=0
nβ exp(−nβ)
P
∞
n=0
exp(−nβ)
.
Substituindo a expressão que define D, tem-se:
−β
d
dβ
"
ln
∞
X
n=0
exp(−nβ)
!#
=
P
∞
n=0
nβ exp(−nβ)
P
∞
n=0
exp(−nβ)
.
Com esta última expressão, e retornando à equação obtida para ε, tem-se:
ε = kT
"
P
∞
n=0
nβ exp(−nβ)
P
∞
n=0
exp(−nβ)
#
= −βkT
d
dβ
"
ln
∞
X
n=0
exp(−nβ)
!#
,
ε = −βkT
d
dβ
"
ln
∞
X
n=0
exp(−nβ)
!#
.
Lembrando que
β
=
hν/kT
, tem-se que
βkT
=
hν
. Fazendo esta substituição na
expressão acima, chega-se a:
ε = −hν
d
dβ
"
ln
∞
X
n=0
exp(−nβ)
!#
.
Fazendo uma pausa para analisar a seguinte série numérica:
s =
∞
X
n=0
exp(−nβ) = lim s
n
.
O somatório
s
trata-se de uma série geométrica cuja razão é
exp (−β)
. Toda série
geométrica, de razão
r
, converge quando se tem
|r| <
1, de tal modo que a sua soma
total é dada por
s
=
lim s
n
= 1
/
(1
− r
). Neste caso, o nosso
r = exp(−β)
. Isto posto,
tem-se:
ε = −hν
d
dβ
"
ln
∞
X
n=0
exp(−nβ)
!#
= −hν
d
dβ
(
ln
"
1
1 − exp(−β)
#)
=
= −hν
d
dβ
h
1
1−exp(−β)
i
h
1
1−exp(−β)
i
= −hν
d
dβ
[1 − exp(−β)]
−1
[1 − exp(−β)]
−1
=
hν exp(−β)
1 − exp(−β)
=
=
hν
exp(β) − 1
=
hν
exp [(hν) · (kT)
−1
] − 1
,
e finalmente:
100 | https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i1.12235 Gabriel C. V. Arantes; Clóves G. Rodrigues
ε =
hν
exp [(hν/kT )] − 1
.
Esta foi a fórmula obtida por Max Planck no início do século XX, ao investigar o
problema da energia média (
ε
) dos sistemas quânticos [
19
]. Tal fórmula constitui um
marco na história da Física, pois pela primeira vez a energia média de um sistema
físico passou a depender da frequência de vibração dos seus constituintes microscópicos
(átomos, moléculas, etc.).
4 Comentários Finais
Com base nos resultados teóricos obtidos neste estudo, nota-se que os teoremas da
Análise Real refletem a natureza de diversos fenômenos físicos. Em particular, ao
explorarmos os fenômenos físicos discretos, tais como aqueles presentes no campo da
Física Quântica, nota-se que existem padrões de sequências e séries numéricas intrínsecas.
Além disso, atesta-se que os métodos comumente utilizados na Física Matemática, a
exemplo das propriedades de convergência das séries geométricas, nada mais são do que
teoremas rigorosamente demonstrados pela Análise Real, com grande contribuição para
o estudo dos fenômenos naturais. Existem muitos teoremas matemáticos ainda sem
aplicação direta na Física, mas que potencialmente podem ser empregados, de modo a
esclarecer diversos padrões da natureza. Na opinião dos autores, este é um campo teórico
que deve ser continuamente explorado, tanto pelos Físicos, quanto pelos Matemáticos.
ORCID
Gabriel Costa Vieira Arantes https://orcid.org/0000-0001-6298-1906
Clóves Gonçalves Rodrigues https://orcid.org/0000-0003-0140-9847
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