INTERMATHS, VOL. 4, NO. 2 (2023), 135–150
https://doi.org/10.22481/intermaths.v4i2.12956
Artigos Gerais
cb licença creative commons
A Progressão Geométrica presente nos Fractais: Uma
proposta de ensino por meio da Modelagem Mate-
mática
The geometric progression present in fractals: a teaching proposal through
mathematical modeling
Aila Coelho Matos Pereira
a
, Daniela Santa Inês Cunha
a
, Dirceu de Freitas Piedade Melo
a
a
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia - Campus Salvador - BA, Brasil
* Autor Correspondente: 2017129001@ifba.edu.br
Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar uma proposta para o ensino de progres-
sões geométricas usando os fractais presentes na natureza. A ideia surgiu a partir de experiências
vivenciadas durante o período de regência em atividades de estágio, através de oficinas para
turmas do ensino médio integrado do Instituto Federal da Bahia - Campus Salvador. Pesquisas
apontam dificuldades dos estudantes do ensino médio na generalização dos padrões a partir da
observação e reforçam que o docente deve pensar em alternativas para reverter isso em sala de
aula. O uso das árvores fractais podem constituir uma excelente motivação para trabalhar o
reconhecimento de padrões geométricos estimulando e utilizando meios lúdicos e criativos em
sala de aula. Pensando nisso, foi elaborada uma proposta de ensino das progressões geométricas
por meio de uma modelagem que parte da observação de fractais presentes na natureza. A
proposta segue etapas de modelagem matemática sucessivas de interação, matematização e
modelo matemático, estabelecidas por Biembengut [
1
]. A partir da proposta criada conclui-se
que além de potencializar o ensino de progressões geométricas trazendo uma outra problemática
voltada à realidade, os fractais dão um significado ao ensino de progressões geométricas.
Palavras-chave: Progressão Geométrica; Fractais; Modelagem Matemática; Ensino Médio.
Abstract: This work aims to present a proposal for teaching source code progressions using
fractals present in nature. The idea arose from experiences during the period of regency
in internship activities, through workshops for integrated high school classes at the Federal
Institute of Bahia - Campus Salvador. Research points to the difficulties of high school
students in generalizing patterns based on observation and reinforces that teachers should
think of alternatives to revert this in the classroom. The use of fractals in the classroom
leads the student to arouse curiosity, develop creativity and increase playfulness. With that
in mind, a teaching proposal for the interpretation of progressions was developed through
modeling that starts from the observation of fractals present in nature. The proposal follows
the successive mathematical modeling steps of interaction, mathematization and mathematical
model, protected by Biembengut [
1
]. From the proposal created, it is concluded that in addition
to enhancing the teaching of grain progressions, bringing another problematic thought to reality,
fractals give meaning to the teaching of grain progressions.
keywords: Geometric Progressions; Fractals; Mathematical Modeling.
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Introdução
Um dos estudos realizados pelo grupo de pesquisa em educação algébrica da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo - GPEA, apontou dificuldades dos estudantes
do Ensino Médio na generalização dos padrões a partir da observação. O problema
apresentado em descrever as relações funcionais utilizando a linguagem algébrica parece
ser somente o início do bloqueio, além disso os estudantes sentem falta de significado
para as expressões, equações e símbolos algébricos.
Por trás dessa “falta de significado” existe lacuna de compreensão conceitual de toda
a estrutura matemática envolvida nesse processo, além de outras variáveis que fazem
parte da proficiência matemática. Bernardino, Garcia e Rezende [
2
] afirmam que o
pensamento teórico e a compreensão do significado do simbolismo algébrico devem ter
um olhar mais atento pelo docente, por se tratar da origem da dificuldade dos estudantes.
Os autores ressaltam que reconhecer as manifestações do pensamento e da linguagem
algébrica é um elemento relevante a ser considerado pelos professores na organização do
ensino de álgebra.
Panossian [
3
] afirma que o ensino algébrico deve recorrer a uma linguagem que reflita o
pensamento e dê significado ao problema, através dos seguintes passos: definir, estruturar
e propor uma situação para um grupo de estudantes no processo de generalização,
abstração e formação de conceitos. A autora compreende a necessidade do conhecimento
algébrico, e dos símbolos que expressam conceitos e significados dos problemas para
os estudantes, por isso a importância do processo de ensino de álgebra e da reflexão
e investigação constantes dos professores que se preocupem em compreender como os
estudantes pensam e recorrem a linguagem algébrica numa realidade objetiva.
Segundo Vale e Pimentel [
4
], a observação e generalização de padrões, utilizando
recursos simbólicos, oportunizam o desenvolvimento do pensamento algébrico e geo-
métrico, sendo uma ferramenta poderosa para a atividade matemática. Os autores
mostram que o estudante, ao experimentar o processo de apropriação visual de estru-
turas caracterizadas pela regularidade, seguido da sua representação numérica, pode
experimentar, através da observação da sequência encontrada, a descoberta do seu termo
geral. Nesse contexto, o reconhecimento de padrões da geometria fractal encontrada na
botânica pode fornecer um material muito rico para trabalhar o pensamento algébrico e
geométrico em estruturas que apresentam progressões geométricas, tanto pelo desafio
dessa interdisciplinaridade, como pela bela motivação visual de suas estruturas.
Barbosa [
5
] declara que o estudo dos fractais em sala de aula desperta o interesse, a
curiosidade e a criatividade dos estudantes devido ao seu visual caótico e chamativo.
Estas características dos fractais podem auxiliar no ensino de padrões, analisando
os mesmos nas progressões geométricas, além do que, a abordagem dos fractais no
ensino da geometria é proposta tendo presente a insuficiência da geometria euclidiana
Submetido em: 03 de Julho de 2023 Aprovado em: 01 de Novembro de 2023 Publicado em: 30 de Dezembro de 2023
ISSN 2675-8318 ©2023 INTERMATHS. Publicado por Edições UESB. Este é um artigo de acesso aberto sob a licença CC BY 4.0.
na contemplação das diferentes formas que encontramos na natureza e sua crescente
aplicabilidade nas mais diferentes áreas. Grande parte dos elementos naturais não pode
ser representada por figuras costumeiramente estudadas como retângulos, quadrados
entre outros [5].
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) [
6
] destacam que a matemática deve ser
vista pelo estudante como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento de
seu raciocínio, de sua sensibilidade expressiva, estética e de sua imaginação e com isso
compreender cada vez mais o mundo que o cerca. A Base Nacional Comum Curricular
(BNCC) reafirma essa visão quando enfatiza que a matemática não se trata apenas de
ensinar fórmulas, mas fazer com que o estudante entenda o que está por detrás dos
cálculos [7].
É necessário que os professores promovam uma visão da matemática como uma ciência
em evolução, não algo pronto e definitivo, levando o aluno a construir e se apropriar do
conhecimento que servirá para transformar sua realidade, sendo assim a BNCC afirma
em sua quinta competência que deve existir uma matemática mais investigativa em
sala de aula, fazendo uso de novas estratégias e recursos para introduzir conceitos e
propriedades [7].
Esta proposta surgiu em uma das atividades de regência do Programa Residência
Pedagógica
∗
, salientando que uma das autoras deste trabalho foi a regente responsável
por elaborar e ministrar oficinas para os estudantes do ensino médio. Em uma dessas
oficinas o conteúdo abordado foi progressões geométricas, surgindo assim esta proposta
com o intuito de contribuir para o ensino de progressões geométricas em sala de aula. A
partir dessa experiência aprimoramos o trabalho e apresentamos neste artigo.
As discussões promovidas e as lacunas evidenciadas deram origem ao objetivo deste
relato que é apresentar uma proposta de ensino de progressões geométricas utilizando
os fractais presentes na natureza, tendo a modelagem matemática como metodologia de
ensino.
1 Fractais e a Progressão Geométrica
O termo fractal é um neologismo introduzido por Benoit Mandelbrot inspirado na
palavra latina fractus, cujo verbo frangere significa quebrar, criar fragmentos irregulares,
fragmentar [
8
]. Se observarmos a natureza que nos cerca, encontraremos formas que não
podem ser descritas através das figuras geométricas que aprendemos na escola. "Nuvens
não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, cascas de
árvores não são suaves e nem o raio se propaga em linha reta”. Nessa frase escrita no
prefácio de seu livro The fractal geometry of Nature, Mandelbrot evidencia que as formas
da natureza e as formas da geometria comum não são diferentes apenas em grau, mas
são diferentes também em espécie [
8
]. Diante disso, a geometria fractal surge como
∗
Programa de Residência Pedagógica é um programa da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal do Nível Superior - CAPES que tem por finalidade fomentar projetos
institucionais de residência pedagógica implementados por Instituições de Ensino Superior, contribuindo para o aperfeiçoamento da formação inicial de professores da educação
básica nos cursos de licenciatura.
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uma nova forma de descrever e reconstruir formas não contempladas pela geometria
euclidiana, como aquelas encontradas na natureza.
Um fractal pode ser entendido como um ente que possui invariância de escala e
complexidade infinita. A invariância de escala se evidencia no fractal quando vemos que
a sua forma se preserva, mesmo quando observado em escalas diferentes. A complexidade
infinita está relacionada com a recursividade usada em seu processo construtivo, isto é,
consiste na aplicação da mesma regra, que é repetida em todas as etapas da construção
do objeto. Isso faz com que cada parte do fractal seja a réplica do todo [9].
Alguns pesquisadores têm se dedicado a utilizar propriedades fractais no estudo da
botânica. Em seu trabalho Algorithm Beauty of Plants [
10
], Lindenmayer propõe um
sistema recursivo, inspirado na complexidade infinita dos fractais para criar árvores e
plantas artificialmente. Na Figura 1 podemos ver formas muito belas como resultado da
criação de plantas a partir da aplicação de padrões relativamente simples.
Figura 1. Campo de flores fractais construído a partir do Sistema Lindenmayer.
Fonte: [10, p. 01].
As árvores fractais podem constituir uma excelente motivação para trabalhar o reconhe-
cimento de padrões geométricos, a utilização do pensamento algébrico na representação
simbólica desses padrões, e a generalização do processo recursivo através da construção
da sua lei de formação.
Na Figura 2 temos a representação de várias etapas da construção de uma árvore
fractal: O iniciador (a), o gerador (1ª iteração) (b), a segunda, a terceira e a quarta
iterações (c, d, e). Para efetuar a construção dessa árvore, parte-se do iniciador,
aplicando-se a seguinte regra: na extremidade do iniciador são colocados dois galhos
com uma abertura angular
α
resultando o galho gerador (b). A partir daí cada um dos
galhos será um novo iniciador. Cada um dos galhos de (b) irá formar mais dois galhos
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de mesmo ângulo
α
, totalizando os quatro novos galhos observados em (c). Repetindo o
mesmo padrão nos novos galhos gerados pode-se observar a construção que resulta da
terceira e quarta iterações.
Figura 2. Etapas da construção recursiva de uma árvore fractal.
Fonte: Elaborada pelos autores.
A partir desse exemplo podemos perceber o quão interessante pode ser a caminhada na
descoberta de padrões, e na sua compreensão algébrica. Ao descobrir o padrão recursivo
na construção dos novos galhos, pode-se estimular o aluno, utilizando meios lúdicos e
criativos, a realizar a representação da sequência numérica obtida a cada iteração, e
descobrir a sua lei de formação, por meio da representação algébrica. Esse crescimento
progressivo dos galhos, denominado progressão geométrica (PG), é definido como uma
sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior
por uma constante “q” chamada razão da PG. A Equação (1) mostra a lei do termo
geral de uma P.G. de n termos, onde o 1º termo é a
1
.
a
n
= a
1
· q
n−1
(1)
No exemplo apresentado na Figura 2 essa sequência é 2
,
4
,
8
,
16
, · · ·
, ou seja, uma
progressão geométrica de q = 2, com a
1
= 2 e o termo geral: a
n
= 2 · 2
(n−1)
.
Esse elo entre o ensino de PG e os fractais é possível, como apresentaremos, utilizando a
Modelagem Matemática, sendo esta considerada uma metodologia de ensino por meio da
qual o estudante pode ser mais independente quanto à produção do próprio conhecimento,
possibilitando que o mesmo desenvolva, ao longo do processo, mais autonomia. Além da
modelagem ser uma metodologia capaz de auxiliar o estudante no processo de busca pelo
conhecimento matemático, ela também possibilita o desenvolvimento da criatividade e
do desenvolvimento do pensamento crítico. Ainda, a Modelagem Matemática é uma
“estratégia utilizada para obtermos alguma explicação ou entendimento de determinadas
situações reais” [11].
2 Progressão Geométrica e Modelagem Matemática
A modelagem matemática pode ser entendida com a transformação de situações do
nosso cotidiano em linguagem matemática. Ela está presente desde os tempos mais
primitivos. Isto é, a modelagem é tão antiga quanto a matemática, surgindo de aplicações
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na rotina diária dos povos antigos [1].
De acordo com Biembengut [
1
] a modelagem matemática requer além do conhecimento
matemático, uma dose significativa, por parte do modelador de intuição e criatividade
para interpretar contextos e saber discernir o conteúdo matemático que melhor se adapta
a determinada situação, além de senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas.
Os problemas do cotidiano e a matemática são conjuntos que aparentemente não têm
um denominador comum, a modelagem surge como a intersecção entre esses dois conjun-
tos. Essa interação que permite representar uma situação “real” com um determinado
conteúdo matemático, envolve uma série de procedimentos. Esses processos podem ser
agrupados em três etapas: a interação, a matematização e o modelo matemático, como
podemos observar na figura 3 [1].
Seguindo o esquema da imagem abaixo a primeira etapa conhecida como interação
consiste em, após estabelecido o objeto de estudo é realizada uma pesquisa (por meio de
revistas, artigos científicos) ou in loco (por meio de experiências de campos, dados expe-
rimentais) fazendo assim um reconhecimento da situação-problema e uma familiarização
com o mesmo.
Figura 3. Esquema da Modelagem Matemática.
Fonte: Elaborada pelos autores (2022).
A segunda etapa é a matematização, que de acordo com Biembengut [
1
], é uma
etapa mais complexa e desafiante, geralmente dividida em formulação do problema e a
resolução dele. É nesta etapa que é feita a tradução matemática da situação-problema,
hipóteses são levantadas e uma vez definido a situação-problema passa para o processo
de resolução.
Na terceira e última etapa intitulada como “modelo matemático” é necessária uma
avaliação para verificar em que nível ele se aproxima da situação-problema apresentada,
fazendo uso da interpretação do modelo analisando as possíveis soluções e a verificação
de sua adequação quando se retoma a situação-problema avaliando a quão significativa
e relevante é a solução fazendo assim a verificação [1].
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Com o propósito de justificar a relação entre a modelagem matemática com o ensino
de progressões geométricas por meio dos fractais, Vale e Pimenta [
4
] ressaltam que o
estudo de padrões no ensino de matemática pode auxiliar o estudante a fazer referências
à sua realidade e dessa forma atribuir significado ao que está aprendendo.
O estudo de padrões apoia a aprendizagem dos alunos propiciando-os a descobrirem
relações, encontrarem conexões, fazerem generalizações e previsões. Por meio das etapas
apresentadas por Biembengut [
1
], na seção que segue iremos apresentar uma proposta
para o ensino de progressões geométricas, evidenciando a relação deste conteúdo com os
fractais presentes na natureza.
3 Proposta Pedagógica para o Ensino de Progressões Geométricas
A transposição do estudo de sequências numéricas guiados pelos PCNs principalmente
no que diz respeito ao Ensino Médio orientam um estudo pautado no ensino de PG, a fim
de que os estudantes possam perceber regularidades, padrões e desta forma desenvolver
o pensamento algébrico e, consequentemente, obter êxito nos processos de generalização.
Os PCN [
6
] instruem que “as sequências, em especial as progressões aritméticas e as
progressões geométricas, nada mais são que funções particulares”, o que remete ao fato
de que tais conteúdos não devem ser trabalhados dissociados do ensino de funções.
Já as orientações curriculares para o ensino médio reafirmam esse trabalho em
conjunto enfatizando inclusive que as progressões aritméticas e geométricas “não devem
ser tratadas como um tópico independente, em que o aluno não as reconhece como
funções já estudadas. Devem-se evitar as exaustivas coletâneas de cálculos que fazem
simples uso de fórmulas (“determine a soma...”, “calcule o quinto termo...”) [6].
Na Base Nacional Comum Curricular (BNCC) [
7
], a competência específica de número
5 (cinco) relacionada ao ensino das progressões, a ser trabalhada ao longo do Ensino
Médio, ressalta o trabalho com investigação e estabelecimento de conjecturas a respeito
de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando estratégias e recursos,
como observação de padrões e experimentações na validação destas conjecturas.
Seguindo o conceito da atual proposta pedagógica foi escolhido o objeto de estudo que
é o ensino de progressões geométricas, em conjunto com os fractais como uma nova forma
de introduzir esse conteúdo utilizando a modelagem matemática como metodologia.
O conteúdo trazido na proposta foi progressão geométrica que está associada à
habilidade presente na BNCC de número EM13MAT508 e seu alcance favorece o
desenvolvimento da competência 5 (cinco) citada anteriormente. Tal habilidade propõe
identificação e associação das progressões geométricas (PG) às funções exponenciais
de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e
resolução de problemas.
O método começa a partir da elaboração de um plano de aula, definindo os participan-
tes que são recomendados aos estudantes do primeiro ano do ensino médio, o objeto de
estudo, que são as progressões geométricas e o tempo de aula com duração de 100 (cem)
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minutos. A aula tem como propósito compreender o conceito de progressões geométricas
a partir dos fractais encontrados na natureza, e mais especificamente associar os fractais
presentes na natureza com o ensino de progressões geométricas, demonstrar a fórmula do
termo geral de uma P.G (progressão geométrica) com auxílio do GeoGebra e apresentar
a Geometria Fractal com o auxílio do software.
Esta proposta pedagógica foi organizada em etapas a fim de mostrar com mais detalhes
todo o processo da relação entre o ensino de progressões geométricas com os fractais para
que o docente possa aplicar em sala de aula. A mesma foi pensada tanto para uma aula
presencial quanto remota. Na aula presencial o docente com auxílio do projetor pode
mostrar a construção dos galhos fractais no GeoGebra e iniciar as discussões referente
às interações. Já na remota terá como auxílio o Google Meet, fazendo uso de slides para
apresentar o ensino de progressões geométricas através da modelagem matemática por
meio de um problema envolvendo fractais, abordando inicialmente os fractais e suas
propriedades, sequências geométricas, suas classificações e a fórmula geral do termo de
uma PG.
A forma avaliativa será acompanhar o processo de cada aluno à medida que eles
interagem durante a aula e na resolução de atividades de forma síncrona, sendo assim,
uma avaliação processual. A proposta foi pensada com o propósito de ser desenvolvida
através das três etapas de modelagem propostas por Biembengut [
1
]: interação, mate-
matização e modelo matemático. Neste primeiro momento da proposta o docente deve
interagir com os estudantes seguindo os princípios trazidos por Biembengut [
1
] na etapa
interação.
3.1 ETAPA 1 - INTERAÇÃO
Esta etapa é dividida em duas: o reconhecimento da situação problema e a elaboração
do referencial teórico a ser trabalhado. O reconhecimento começou a partir da definição
do objeto de estudo, que neste caso é o ensino de progressão geométrica por meio dos
fractais. A partir disso foi feito um recorte dentro dos fractais, com o objetivo de gerar
um problema real, sendo decidido trabalhar com os fractais presentes na natureza.
A parte teórica deste trabalho foi gerada por pesquisas realizadas nas áreas da geome-
tria fractal, progressões geométricas e modelagem matemática. Uma vez estabelecida a
situação iniciou-se o processo da construção dos galhos fractais no GeoGebra. Para a
construção desses galhos foi utilizada a versão online do software GeoGebra, mas caso o
docente não queira fazer a construção, ele pode usar algumas construções que já existem
no site do GeoGebra
†
.
Nesta construção, uma das ferramentas se tornou indispensável, o controle deslizante,
sendo necessário principalmente para a visualização progressiva das interações pelos
estudantes. A imagem abaixo traz a relação entre o que é encontrado na natureza, que
são os galhos de uma árvore com os galhos fractais e suas propriedades. Nela é possível
†
Geogebra é um aplicativo matemático que permite construções, e pode ser encontrado neste link: https://www.geogebra.org/?lang=pt e a atividade dos galhos fractais pode ser
encontrada neste link: https://www.geogebra.org/classic/dvnymdwq
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identificar a presença da autossimilaridade entre os galhos, os novos galhos gerados
a partir das interações têm as mesmas características e semelhanças do galho gerado
inicialmente.
Figura 4. A representação dos Fractais na Botânica.
Fonte: Elaborada pelos autores (2022).
Nesta construção, à medida que o número de interações aumenta, novos galhos são
gerados totalizando seis interações desenvolvidas no GeoGebra formando assim uma
figura semelhante a uma árvore. Outra característica interessante desta construção é
que o docente pode aumentar o tamanho dos galhos e movimentá-los dando a ideia do
vento batendo nos galhos facilitando a visualização dos estudantes com dificuldades e
trazendo algo mais lúdico e dinâmico para aula.
A imagem da figura 5 refere-se à construção dos galhos fractais no GeoGebra e pode
ser encontrada no site do GeoGebra [
12
], esta opção facilita para o docente acessar a
construção e visualizar o processo da construção de forma mais detalhada.
Figura 5. Construção dos Galhos Fractais na GeoGebra.
Fonte: [12, p. 01].
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As cores dos galhos são importantes nesse processo de visualização, o ramo principal
possui uma cor amarronzada lembrando o tronco inicial de uma árvore, os novos galhos
gerados a partir das interações foram construídos com cores diferentes para que o
estudante perceba o padrão existente e os próximos termos da sequência.
Nesta construção o docente poderá explorar de forma mais natural e interativa
mostrando que há um crescimento a partir da quantidade de interações, podendo assim
demonstrar a fórmula do termo geral chegando até a expressão que esse crescimento
representa, como veremos de forma mais detalhada na segunda etapa da modelagem
matemática: a matematização.
3.2 ETAPA 1 - MATEMATIZAÇÃO
Há duas sub etapas na matematização são elas: formulação do problema e resolução
do problema em termos matemáticos. Na formulação do problema uma tarefa, exposta
no anexo A, foi preparada para aplicação em sala pelo docente trazendo uma reflexão
sobre a importância desses galhos para a natureza, reforçando o conceito dos fractais na
botânica. De acordo com Ponte [
13
] é importante levar uma tarefa matemática para a
sala de aula:
As tarefas são ferramentas de mediação fundamentais no ensino e na
aprendizagem da Matemática. Uma tarefa pode ter ou não potencia-
lidades em termos de conceitos e processos matemáticos que podem
ajudar a mobilizar. Pode dar lugar a atividades diversas, conforme
o modo como for proposta, a forma de organização do trabalho dos
alunos, o ambiente de aprendizagem, e a sua própria capacidade e
experiência anterior. É pela sua atividade e pela sua reflexão sobre
essa atividade que o aluno aprende, mas é importante ter presente que
esta depende de dois elementos igualmente importantes: (i) a tarefa
proposta; e (ii) a situação didática criada pelo professor [13, p. 17].
A tarefa matemática encontrada no anexo A ressalta a relevância da situação didática
presente que procura relacionar os fractais encontrados na natureza com o ensino de
progressões geométricas despertando assim o interesse e a curiosidade dos estudantes a
respeito do assunto. A tarefa proposta reforça a interdisciplinaridade entre a matemática
e a biologia, mais especificamente a botânica, trazendo a importância dessa distribuição
para a natureza que é a redução do impacto da água da chuva sobre o solo, favorecendo
a sua infiltração.
As ramificações funcionam como uma barreira para o calor do sol, evitando o aque-
cimento, as árvores “seguram” o solo e não deixam as águas da chuva “carregarem”
a terra, salientando a importância da distribuição e formação dos galhos para o meio
ambiente, através de uma reflexão trazida em sala pelo docente. A proposta permite sair
um pouco de aulas somente expositivas, com o professor como figura central e detentor
do conhecimento reduzindo o estudante a um mero espectador da aula.
Além da tarefa, o docente terá a construção no GeoGebra para aplicação desta
proposta possibilitando a visualização de um padrão no crescimento gradativo dos galhos
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da árvore, a relação entre o número de interações e a quantidade de galhos gerados,
levando o estudante perceber o conteúdo a ser trabalhado em sala. Os questionamentos
levantados pelo docente devem ser de forma gradativa, com a finalidade de dar autonomia
e tempo para o estudante refletir entre uma pergunta e outra. O docente deve ter cautela
para não dar muitas informações facilitando assim o entendimento do estudante. A
figura 6 evidencia as perguntas desenvolvidas nesse processo da modelagem matemática.
Figura 6. Perguntas elaboradas a partir da primeira interação.
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Nesse estágio da aula o estudante já terá percebido que o crescimento dos galhos a
partir das interações gera esta sequência numérica (2
,
4
,
8
,
16
,
32
, · · ·
) que é denominada
de progressão geométrica, além de perceber o padrão neste crescimento e a relação que
existe entre o número de interações e a quantidade de galhos. Neste momento, espera-se
que os estudantes consigam generalizar e descrever a quantidade de galhos gerados na
enésima interação.
Figura 7. Perguntas elaboradas na terceira interação.
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
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A elaboração destas perguntas que serão feitas em sala auxilia o docente na mediação
da demonstração da fórmula do termo geral de uma P.G, considerando a relação inicial
entre a quantidade de interações e o total de galhos gerados. A primeira interação
tem uma quantidade de “x” galhos, na segunda temos uma nova quantidade de galhos
e assim sucessivamente, formando assim uma sequência, e nesta sequência podemos
observar um padrão.
Após isso, o docente deve partir para generalização desta sequência gerando assim
a dedução da fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Nota-se que o
docente tem um papel de mediador deste processo de dedução. Como é visto na imagem
abaixo:
Figura 8. Deduzindo a fórmula do termo geral de uma P.G.
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Nesta etapa de dedução da fórmula do termo geral de uma P.G é o estágio na
modelagem matemática de resolução do problema. É uma das mais importantes nesta
proposta, já que aqui o docente irá iniciar o conteúdo matemático contextualizado
anteriormente. O processo de dedução da fórmula do termo geral é feito através de
questionamento como é possível visualizar na figura 5. Nesse momento é necessário
fazer com que os estudantes percebam que, para encontrar o enésimo termo, devem
colocar todos os termos seguintes em função do primeiro termo. A construção dos galhos
fractais é de grande importância nesse momento, retomando a relação entre o número de
interações e a quantidade de galhos formados gerando uma sequência. A seguir iremos
avaliar o conhecimento adquirido pelos estudantes na terceira e última etapa do processo
de modelagem matemática proposto por Biembengut [1].
3.3 ETAPA 03 - MODELO MATEMÁTICO
A terceira e última etapa também é dividida em duas subtapas: a interpretação da
solução e a avaliação.
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Após a dedução da fórmula do termo geral de uma PG, foram selecionadas questões
envolvendo os fractais e o ensino de progressões geométricas para que o docente pudesse
acompanhar e avaliar a aplicação dos conceitos trabalhados anteriormente em outros
contextos envolvendo padrões em fractais. A imagem abaixo é uma questão do Exame
Nacional do Ensino Médio que traz um dos fractais mais famosos, o triângulo de
Sierpinski, na qual a interpretação do modelo e uma possível solução é gerada pelos
estudantes.
Figura 9. Tarefa sobre fractais
Fonte: [13, p. 09].
Além de trazer um pouco da história dos fractais, a tarefa pode ser resolvida a
partir da observação, gerando uma sequência numérica e deduzindo o próximo termo da
sequência sem fazer o uso da fórmula do termo geral de uma P.G. É importante lembrar
que se trata de uma aula de introdução ao conteúdo de progressões geométricas, na qual
os estudantes ainda estão assimilando os conceitos e como primeira atividade deve ter
um caráter introdutório.
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Figura 10. Tarefa sobre fractais
Fonte: [13, p. 09].
Na figura 10 temos a representação da segunda tarefa cujo o propósito é elevar o nível
de dificuldade sendo ela o fator de avaliação e conclusão do processo de modelagem
matemática, esperando que o estudante tenha uma evolução gradativa no conteúdo de
progressões geométricas e generalizações de padrões a partir da observação. Se trata de
uma tarefa que também associa os fractais com o ensino de progressões trazendo um
fractal conhecido como curva de Coach (Floco de neve), sendo ele outro fractal presente
na natureza. Nesta tarefa o estudante não conseguirá saber o próximo termo apenas
observando, ele já terá que fazer uso dos conhecimentos vistos anteriormente em sala.
Ao ser questionada sobre o sétimo termo desta sequência, o estudante terá que saber
interpretar que existe um padrão presente na imagem e a partir disso escrever sua
sequência identificando quem é o primeiro termo, o valor da razão e utilizar a fórmula
do termo geral para encontrar o sétimo termo.
É possível observar que houve uma progressão de dificuldade entre a primeira tarefa e
a segunda tarefa dois. O docente deve explorar e aproveitar mostrando as características
dos fractais presentes na imagem, relembrando o conceito de autossimilaridade presente
nos fractais, fazendo associações com o que foi visto anteriormente em sala e reforçando
que os fractais estão presentes no cotidiano, especialmente na natureza, fazendo um
convite a enxergar a matemática ao nosso redor.
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Conclusão
Retomando ao objetivo inicial, que é apresentar uma proposta de ensino de progressões
geométricas usando os fractais presentes na natureza, é possível concluir que além de
potencializar o ensino de progressões geométricas trazendo uma problemática voltada à
realidade, os fractais dão um significado ao ensino de progressões geométricas mostrando
a interdisciplinaridade entre um conteúdo matemático e a biologia presente na natureza,
mais especificamente na botânica.
Conforme previsto por Barbosa [
5
] uma das principais dificuldades encontradas durante
a elaboração dessa proposta foi a formulação de questionamentos que incentivassem o
estudante a ser o protagonista do seu conhecimento, fazendo o uso da modelagem onde
o docente tem um papel de mediador e não facilitador do processo de ensino, além do
que requer do docente um planejamento e desenvolvimento mais detalhado das aulas
demandando um pouco mais de tempo.
É importante ressaltar que a modelagem matemática não é algo novo, ela sempre
esteve presente na história da matemática, em suas teorias. Barbosa [
5
] afirma que
os professores verbalizam seu próprio “despreparo” para desenvolver atividades desta
natureza e assinalam que a continuidade da aplicação da Modelagem é a forma adequada
de adquirir experiência, segurança e confiança.
Retomando as etapas abordadas durante esta proposta a primeira etapa denominada
de interação permite que o docente reconheça o problema e busque um referencial teórico
para gerar a solução, na matematização há elaboração e resolução do problema e no
modelo matemático traz a interpretação e avaliação da solução. Processos que são
abordados pelo docente na Modelagem Matemática.
Na apresentação desta proposta foi possível identificar a possibilidade de inserção da
modelagem matemática por meio das etapas descritas por Biembengut [
1
], concluído que
o uso da modelagem matemática em sala de aula mostra a aplicabilidade do conteúdo
matemático, desenvolve a criatividade do estudante, promove a habilidade de formular e
resolver problemas e incentiva a pesquisa.
Logo, constata-se que é importante o docente conduzir novas propostas para a sala de
aula, usando novas metodologias já que a prática vai deixando o docente cada vez mais
à vontade mesmo com a insegurança e com mais experiência. A partir dessa proposta
é possível dar continuidade ao ensino das progressões geométricas, trazendo a relação
entre a propagação dos galhos e as fórmulas da soma finita e infinita dos termos.
Concluímos que a proposta elaborada pode contribuir com o ensino de progressões
geométricas relacionadas aos fractais, além de trazer ao professor uma sugestão interativa
e dinâmica de uso da modelagem matemática e do software GeoGebra. A matemática
nesse caso, é percebida em fractais da natureza e oportuniza o estudo desse tópico pouco
abordado no âmbito no Ensino Médio.
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Contribuições
Todos os autores contribuíram substancialmente na concepção e/ou no planejamento do estudo;
na obtenção, análise e/ou interpretação dos dados; na redação e/ou revisão crítica; e aprovaram
a versão final a ser publicada.
Orcid
Aila Coelho Matos Pereira https://orcid.org/0000-0002-4078-8467
Daniela Santa Inês Cunha https://orcid.org/0000-0002-6618-7977
Dirceu de Freitas Piedade https://orcid.org/0000-0001-6329-9239
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13. J. P. Ponte, Práticas Profissionais dos Professores de Matemática, Instituto de Educação.
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Editora-científica: Ana Paula Perovano. Orcid iD: https://orcid.org/0000-0002-0893-8082
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CC BY 4.0
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