Value Functions on Quaternion Algebras
DOI:
https://doi.org/10.22481/exon.v5i1.19484Keywords:
Valuation theory, division rings, simple algebras, graded algebrasAbstract
A value function is a map like a valuation that can be defined on rings with zero divisors. In this paper, we deal with a new type of value function for finite-dimensional semisimple algebras over valued fields called gauge. While a valuation on a field does not always extend to a valuation on a quaternion division algebra, we show how to construct explicitly a gauge in an arbitrary quaternion algebra. We also prove that the associated graded algebra of the gauge constructed here is a graded quaternion algebra.
Downloads
References
Efrat, I. Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs, 124. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006.
Engler, A. J.; Prestel, A. Valued fields. Springer Monographs in Mathematics. SpringerVerlag, Berlin, 2005.
Ferreira, M. A.; Wadsworth A. R. Value functions and Dubrovin valuation rings on simple algebras, Trans. Amer. Math. Soc., to appear; preprint available at arXiv:1307.5501.
Hwang, Y.-S.; Wadsworth, A. R. Correspondences between valued division algebras and graded division algebras. J. Algebra. 220 (1999), no. 1, 73–114.
Morandi, P. J., On defective division algebras, in K-theory and algebraic geometry: connections with quadratic forms and division algebras (Santa Barbara, CA, 1992), eds. B. Jacob and A. Rosenberg, pp. 359–367, Proc. Sympos. Pure Math., 58, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.
Pierce, R. S. Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics, 88. Studies in the History of Modern Science, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.
Renard, J.-F.; Tignol, J.-P.; Wadsworth, A. R. Graded Hermitian forms and Springer’s theorem. Indag. Math. (N.S.) 18 (2007), no. 1, 97–134.
Tignol, J.-P.; Wadsworth A. R. Value functions and associated graded rings for semisimple algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 362 (2010), 687–726.
Wadsworth, A. R. Extending valuations to finite-dimensional division algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 98 (1986), no. 1, 20–22.
Wadsworth, A. R. Valuation theory on finite dimensional division algebras. Valuation theory and its applications, Vol. I (Saskatoon, SK, 1999), 385–449, Fields Inst. Commun., 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Copyright (c) 2026 Exatas Online
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Você é livre para:
Compartilhar - copia e redistribui o material em qualquer meio ou formato; Adapte - remixe, transforme e construa a partir do material para qualquer propósito, mesmo comercialmente. Esta licença é aceitável para Obras Culturais Livres. O licenciante não pode revogar essas liberdades, desde que você siga os termos da licença.
Sob os seguintes termos:
Atribuição - você deve dar o crédito apropriado, fornecer um link para a licença e indicar se alguma alteração foi feita. Você pode fazer isso de qualquer maneira razoável, mas não de uma forma que sugira que você ou seu uso seja aprovado pelo licenciante.
Não há restrições adicionais - Você não pode aplicar termos legais ou medidas tecnológicas que restrinjam legalmente outros para fazer qualquer uso permitido pela licença.
